Giải bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

LG a

a) \(∫{(1-x)}^9dx\) (đặt \(u =1-x\) ) ;

Phương pháp giải:

+) Đặt \(u = u\left( x \right) \Rightarrow du = u'\left( x \right)dx.\)

+) Khi đó: \( \Rightarrow I = \int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( u \right)du.} \)

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn \(u\).

+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn \(x\).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du= -dx\). Khi đó ta được \(-\int u^{9}du = -\dfrac{1}{10}u^{10}+C\)

Suy ra \(\int(1-x)^{9}dx=-\dfrac{(1-x)^{10}}{10}+C\)

Cách 2: \(\smallint {\left( {1 - x} \right)^9}dx = - \smallint {\left( {1 - x} \right)^{9}}d\left( {1 - x} \right)=\) \(-\dfrac{(1-x)^{10}}{10} +C\)

LG b

b) \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\))

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Đặt \(u = 1 + {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx \\= \dfrac{1}{2}du.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{1}{2}{u^{\dfrac{3}{2}}}du = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{u^{\dfrac{3}{2} + 1}}}}{{\dfrac{3}{2} + 1}} + C} \\ = \dfrac{{{u^{\dfrac{5}{2}}}}}{5} + C = \dfrac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\dfrac{5}{2}}}}}{5} + C.\end{array}\)

Cách 2: \(\int x(1+x^{2})^{\dfrac{3}{2}}dx\\= \dfrac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\dfrac{3}{2}}d(1+x^2{}) \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{5}(1+x^{2})^{\dfrac{5}{2}}+C \\= \dfrac{1}{5}.(1+x^{2})^{\dfrac{5}{2}}+C\)

LG c

c) \(∫cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Đặt: \(t = {\mathop{\rm cosx}\nolimits} \Rightarrow dt = - sinxdx.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{{\cos }^3}x.{\mathop{\rm sinxdx}\nolimits} } = \int { - {t^3}du} \\ = - \dfrac{1}{4}{t^4} + C = - \dfrac{1}{4}{\cos ^4}x + C.\end{array}\)

Cách 2: \(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\\= -\dfrac{1}{4}.cos^{4}x + C.\)

LG d

d) \(\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) (đặt \(u= e^x+1\))

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Ta có: \({e^x} + {e^{ - x}} + 2 = {e^x} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + 2 \\= \dfrac{{{e^{2x}} + 2{e^x} + 1}}{{{e^x}}} = \dfrac{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}{{{e^x}}}.\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}} = \dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}.\)

Đặt \(u = {e^x} + 1 \Rightarrow du = {e^x}dx.\)

\(\int {\dfrac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}} = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}} = - \dfrac{1}{u} + C = - \dfrac{1}{{{e^x} + 1}} + C\)

Cách 2:

\(\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2} = \int \dfrac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\\ = \int \dfrac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx=\dfrac{-1}{e^{x}+1} + C.\)

Loigiaihay.com