Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x}$.

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{9x + 1}}{{3x - 4}};$           

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{7x - 11}}{{2x + 3}};$           

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x};$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x};$              

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \frac{1}{{x - 6}};$            

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ + }} \frac{1}{{x - 7}}.$

Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được $N\left( t \right) = \frac{{50t}}{{t + 4}}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính $\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } N\left( t \right)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả. 

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50 000 + 105x. 

a) Tính chi phí trung bình $\overline C \left( x \right)$ để sản xuất một sản phẩm. 

b) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \overline C \left( x \right)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả. 

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}$;                     

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}$;                 

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}$;

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}$;            

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}$;           

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}$.

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là $f$. Gọi $d$ và $d'$  lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh $A'B'$ của nó tới quang tâm $O$ của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính là $\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}$.

a) Tìm biểu thức xác định hàm số $d' = \varphi (d)$.     

b) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \varphi (d),\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ - }} \varphi (d)$ và $\mathop {\lim }\limits_{d \to f} \varphi (d)$. Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{1}{{x + 1}}$;              

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 - {x^2}} \right)$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{x}{{3 - x}}$.

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là $f > 0$ không đổi. Gọi $d$ và $d'$ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm $O$ của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: $\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}$ hay $d' = \frac{{df}}{{d - f}}$.

Xét hàm số $g\left( d \right) = \frac{{df}}{{d - f}}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) $\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right)$;        

b) $\mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } g\left( d \right)$.

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. 

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau $t$ phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{400 + t}}$(gam/lít).

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu $t \to  + \infty$.

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5}$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}}$.

Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ax + b}}{{x - 2}} = 5$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = 3$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M\left( {t,{t^2}} \right),t > 0$, nằm trên đường parabol $y = {x^2}$. Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi M dần đến điểm O?

Biết $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + a}}{{x - 1}} = b$ với a và b là hai số thực. Giá trị của $a + b$ bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Cho điểm M thay đổi trên parabol $y = {x^2}$; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H. Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {OM - MH} \right)$

Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M$ $\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)$. Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M$  

B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$

C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M$                  

D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}$

Quan sát đồ thị hàm số ở hình dưới đây và cho biết các giới hạn sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right)$.

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( { - 4{x^2} + 3x + 1} \right)$                   

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{ - 4x + 1}}{{{x^2} - x + 3}}$

 c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {3{x^2} + 5x + 4}$                                   

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{2{x^2} + 3}}$

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3}}{{x - 2}}$                                         

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{5}{{x + 2}}$

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}}$                   

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}$                                         

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}$

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 1}}$               

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}$

Cho số thực $a$ và hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty$. Chứng minh rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}$.

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là $g\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}$ (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm ${t_1}$, ${t_2}$ là ${V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) - g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}$. Tính $\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}$ và cho biết ý nghĩa kết quả tìm được.

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{4}{{3x}}}}{{{x^2} - 1}}$                           

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}}$                  

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{ - 5 + x}}{{x + 3}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{14x + 2}}{{ - 7x + 1}}$                          

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2{x^2}}}{{3x + 5}}$           

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{{x + 2}}$

h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}}$                     

i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}$               

k) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{x^2} + 3x - 18}}$

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1}  - 3}}{{x - 2}};$                         

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}};$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}};$              

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{x}.$

Cho $f(x) = \frac{{{x^2} - x}}{{|x|}}$. Khi đó, giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ là

A. 2                     

B. - 1                   

C. 1                     

D. Không tồn tại

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x(x + 1)(2x - 1)}}{{5{x^3} + x + 7}}$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^3} - 1)(2 - {x^5})$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^2} + {x^2} + 1}} - x} \right)$.

Cho các giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3$, hỏi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]$ bằng