Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\;khi\;x > 1\\mx + 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 1\;\end{array} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
Khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\): Hàm số \(f\left( x \right) = mx + 3\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Khi \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\): Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Tại \(x = 1\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1 - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{3}{3} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 3} \right) = m + 3\), \(f\left( 1 \right) = m + 3\)
Hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \) hàm số f(x) liên tục tại \(x = 1\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
Tức là: \(m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 2\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tứ giác ABCD có \(AB = CD\). Gọi M là trung điểm của BC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì?
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x + 5\sin x + 1\) trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\).
Cho dãy số được xác định bởi: \({u_1} = 1;{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right),n \in \mathbb{N}*\). Tính \({u_{2020}}\).
Xét góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha \), trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox và Oy. Khi đó, M thuộc góc phần tư nào để \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) trái dấu?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số nguyên dương chia hết cho 5. Số nào dưới đây thuộc dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - 6} \right)\)
Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_o}\). Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_o}\) nếu:
Cho hình chóp S. ABCD với ABCD là hình bình hành. Hai điểm S và B cùng thuộc hai mặt phẳng:
Biết rằng \(\tan \alpha = 2\). Giá trị biểu thức \(\frac{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }}{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}\) \(\left( {\cos \alpha \ne 0} \right)\)là:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\). Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thỏa mãn \({u_2} = 8;{u_4} = 12\). Số hạng đầu của cấp số cộng bằng:
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3{x^4} - 2{x^2} - 1} \right)\) bằng:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^3} - x}}\). Kết luận nào sau đây là đúng?
Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có BD và AC cắt nhau tại O. Trên SC lấy M không trùng với S và C, đường thẳng AM cắt SO tại K. Đường thẳng SD cắt đường thẳng nào?
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang (AD// CB, \(BC < AD\)). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là:
