Đề giữa học kỳ 1 Toán 9 năm 2026 – 2027 trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Hà Nội

1) Sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để giải hệ phương bậc nhất hai ẩn.

2) Lập hệ phương trình bằng cách chọn ẩn là vận tốc dự định $x\text{~(km/h)}$ và thời gian dự định $y$ (giờ)

- Sử dụng công thức quãng đường $S = v \cdot t$

- Lập hai phương trình từ mối liên hệ giữa vận tốc, thời gian mới và quãng đường không đổi $S = xy$

- Giải hệ phương trình tìm $x, y$ và tính $S = xy$

1)

a) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x+1}{2}}+{\displaystyle \frac{y+3}{3}}=3\\ {\displaystyle \frac{2x+1}{3}}-{\displaystyle \frac{3y-2}{14}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x + 1}{2} + \dfrac{y + 3}{3} = 3} \\ {\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{3y - 2}{14} = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {6.\left( {\dfrac{x + 1}{2} + \dfrac{y + 3}{3}} \right) = 6.3} \\ {42.\left( {\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{3y - 2}{14}} \right) = 42.\dfrac{1}{2}} \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {3(x + 1) + 2(y + 3) = 18} \\ {14(2x + 1) - 3(3y - 2) = 21} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {3x + 2y = 9} \\ {28x - 9y = 1} \end{array} \right.$ \\ $\left\{ \begin{array}{l} {27x + 18y = 81} \\ {56x - 18y = 2} \end{array} \right.$ \end{array}

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta được:

$(27x + 18y) + (56x - 18y) = 81 + 2$

$83x = 83$

Suy ra $x = 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (1;3)$.

b) $\{\begin{array}{l}2(x+y)-3(x-y)=4\\ 5(x+y)+6(x-y)=7\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2(x + y) - 3(x - y) = 4} \\ {5(x + y) + 6(x - y) = 7} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}2x+2y-3x+3y=4\\ 5x+5y+6x-6y=7\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + 2y - 3x + 3y = 4} \\ {5x + 5y + 6x - 6y = 7} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}-x+5y=4(1)\\ 11x-y=7(2)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {- x + 5y = 4\ (1)} \\ {11x - y = 7\ (2)} \end{array} \right.$

Từ phương trình thứ hai suy ra $y = 11x - 7$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$\begin{array}{l}-x+5(11x-7)=4\\ -x+55x-35=4\\ 54x=39\\ x={\displaystyle \frac{39}{54}}={\displaystyle \frac{13}{18}}\end{array}$$\begin{array}{l} {- x + 5(11x - 7) = 4} \\ {- x + 55x - 35 = 4} \\ {54x = 39} \\ {x = \dfrac{39}{54} = \dfrac{13}{18}} \end{array}$

Suy ra $y = 11 \cdot \dfrac{13}{18} - 7 = \dfrac{17}{18}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( {\dfrac{13}{18};\dfrac{17}{18}} \right)$

2) Gọi vận tốc dự định của xe máy là $x$ (km/h) và thời gian dự định là $y$ (giờ), điều kiện $x > 15$, $y > 1$.

Quãng đường $AB$ là $xy$ (km).

Nếu tăng vận tốc thêm $15$ km/h thì đến sớm hơn $1$ giờ nên ta có phương trình:

$(x + 15)(y - 1) = xy$

$- x + 15y = 15$ (1)

Nếu giảm vận tốc đi $15$ km/h thì đến chậm hơn $2$ giờ nên ta có phương trình:

$(x - 15)(y + 2) = xy$

$2x - 15y = 30$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}-x+15y=15\\ 2x-15y=30\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {- x + 15y = 15} \\ {2x - 15y = 30} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta được:

$( - x + 15y) + (2x - 15y) = 15 + 30$

$- x + 15y + 2x - 15y = 15 + 30$

$x = 45$ (TM)

Suy ra $- 45 + 15y = 15$

$15y = 60$

$y = 4$ (TM)

Vậy quãng đường $AB$ dài $45 \cdot 4 = 180$ km.

1)

a) Chuyển vế đổi dấu, phân tích đa thức thành nhân tử sau đó giải phương trình tích.

b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm điều kiện xác định

+ Quy đồng mẫu

+ Bỏ mẫu và giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện xác định và kết luận nghiệm của phương trình.

2) Gọi vận tốc xe máy là $x\text{~(km/h,~}x > 0\text{)}$

- Biểu diễn vận tốc ô tô $(x + 30)\text{~km/h}$ và thời gian đi của hai xe theo $x$.

- Lập phương trình từ chênh lệch thời gian $t_{\text{xe~máy}} - t_{\text{ô~tô}} = 3$ giờ

+ Giải phương trình bậc hai thu được bằng công thức nghiệm (hoặc quy về phương trình tích) và đối chiếu điều kiện.

1)

a)

$\begin{array}{l}4(3x-1)(2x+3)=5(3x-1)\\ (3x-1)\left[4(2x+3)-5\right]=0\\ (3x-1)(8x+7)=0\end{array}$$\begin{array}{l} {4(3x - 1)(2x + 3) = 5(3x - 1)} \\ {(3x - 1)\left\lbrack {4(2x + 3) - 5} \right\rbrack = 0} \\ {(3x - 1)(8x + 7) = 0} \end{array}$

TH1: $3x - 1 = 0$ suy ra $x = \dfrac{1}{3}$

TH2: $8x + 7 = 0$ suy ra $x = - \dfrac{7}{8}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{3}$; $x = - \dfrac{7}{8}$.

b) Điều kiện xác định: $x \neq 2$ và $x \neq - 2$.

Với $x \neq 2$ và $x \neq - 2$, ta có:

$\dfrac{3x - 1}{x - 2} + \dfrac{4 - x}{x + 2} = \dfrac{2x - 1}{x^{2} - 4} + 2$

$\dfrac{(3x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \dfrac{(x - 2)(4 - x)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{2x - 1}{(x - 2)(x + 2)} + \dfrac{2(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$(3x - 1)(x + 2) + (4 - x)(x - 2) = 2x - 1 + 2(x^{2} - 4)$

$\begin{array}{l}(3x-1)(x+2)+(4-x)(x-2)=2x-1+2(x^2-4)\\ 3x^2-x+6x-2+4x-x^2-8+2x=2x-1+2x^2-8\end{array}$$\begin{array}{l} {(3x - 1)(x + 2) + (4 - x)(x - 2) = 2x - 1 + 2(x^{2} - 4)} \\ {3x^{2} - x + 6x - 2 + 4x - x^{2} - 8 + 2x = 2x - 1 + 2x^{2} - 8} \end{array}$

$3x^{2} + 5x - 2 - x^{2} + 6x - 8 = 2x^{2} + 2x - 9$

$2x^{2} + 11x - 10 = 2x^{2} + 2x - 9$

$2x^{2} + 11x - 10 - 2x^{2} - 2x + 9 = 0$

$9x = 1$

$x = \dfrac{1}{9}$ (TM)

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{9}$.

2) Gọi vận tốc xe máy là $x$ (km/h), điều kiện $x > 0$.

Khi đó, vận tốc ô tô là $x + 30$ (km/h).

Thời gian xe máy đi hết quãng đường $AB$ là $\dfrac{280}{x}$ (giờ), thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $\dfrac{280}{x + 30}$ (giờ).

Vì ô tô đến sớm hơn xe máy $3$ giờ nên ta có phương trình:

$\dfrac{280}{x} - \dfrac{280}{x + 30} = 3$

$\dfrac{280.(x + 30)}{x.(x + 30)} - \dfrac{280x}{x.(x + 30)} = \dfrac{3x.(x + 30)}{x.(x + 30)}$

$\begin{array}{l}280(x+30)-280x=3x(x+30)\\ 8400=3x^2+90x\\ x^2+30x=2800\end{array}$$\begin{array}{l} {280(x + 30) - 280x = 3x(x + 30)} \\ {8400 = 3x^{2} + 90x} \\ {x^{2} + 30x = 2800} \end{array}$

Conversion failed

$\begin{array}{l}(x+15-55)(x+15+55)=0\\ (x-40)(x+70)=0\end{array}$$\begin{array}{l} {(x + 15 - 55)(x + 15 + 55) = 0} \\ {(x - 40)(x + 70) = 0} \end{array}$

TH1: $x - 40 = 0$

$x = 40$ (TM)

TH2: $x + 70 = 0$

$x = - 70$ (loại)

Vậy vận tốc xe máy là $40$ km/h.

1)

a) Sử dụng quy tắc chuyển tế và quy tắc nhân (hoặc chia) hai vế của bất phương trình với một số khác $0$

b) Nhân cả hai vế với 21 để khử mẫu rồi giải bất phương trình bậc nhất

2) Gọi số câu trả lời đúng là $x\text{~(câu)}$, điều kiện $x \in {\mathbb{N}},x \leq 12$

- Biểu diễn số câu trả lời sai $(12 - x)$ và tổng số điểm đạt được theo $x$

- Lập bất phương trình từ điều kiện số điểm $\geq 55$

- Giải bất phương trình và kết hợp điều kiện $x$ là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn.

1)

a)

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2x-1}{3}}>4x-2\\ 2x-1>3(4x-2)\\ 2x-1>12x-6\\ -10x>-5\\ x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{2x - 1}{3} > 4x - 2} \\ {2x - 1 > 3(4x - 2)} \\ {2x - 1 > 12x - 6} \\ {- 10x > - 5} \\ {x < \dfrac{1}{2}} \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < \dfrac{1}{2}$.

b) Nhân hai vế với $21 > 0$, ta được:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3x-2}{-7}}>{\displaystyle \frac{2x+1}{3}}\\ -3(3x-2)>7(2x+1)\\ -9x+6>14x+7\\ -23x>1\\ x<-{\displaystyle \frac{1}{23}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{3x - 2}{- 7} > \dfrac{2x + 1}{3}} \\ {- 3(3x - 2) > 7(2x + 1)} \\ {- 9x + 6 > 14x + 7} \\ {- 23x > 1} \\ {x < - \dfrac{1}{23}} \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - \dfrac{1}{23}$

2) Gọi số câu thí sinh trả lời đúng là $x$ (câu), điều kiện $x \in {\mathbb{N}}$, $x \leq 12$.

Số câu trả lời sai là $12 - x$ (câu).

Số điểm thí sinh đạt được là $20 + 5x - 2(12 - x) = 7x - 4$ (điểm).

Vì đạt từ $55$ điểm trở lên sẽ được vào vòng thi tiếp theo nên ta có bất phương trình:

$\begin{array}{l}7x-4\ge 55\\ 7x\ge 59\\ x\ge {\displaystyle \frac{59}{7}}\approx 8,43\end{array}$$\begin{array}{l} {7x - 4 \geq 55} \\ {7x \geq 59} \\ {x \geq \dfrac{59}{7} \approx 8,43} \end{array}$

Vì $x$ là số tự nhiên nên $x \geq 9$

Vậy thí sinh phải trả lời đúng ít nhất $9$ câu thì được vào vòng thi tiếp theo.

a) Chứng minh $\Delta BEC = \Delta CFD$ theo trường hợp cạnh góc cạnh.

Từ đó suy ra $\widehat{BCE} = \widehat{CDF}$, chứng minh được $\widehat{MCF} + \widehat{MFC} = 90^{{^\circ}}$ suy ra $CE\bot DF$

b) Dựa vào cạnh tương ứng của các tam giác đồng dạng, chứng minh

$CD^{2} = DM.DF$ và $CM.CE = CB.CF$

Từ đó suy ra $\dfrac{CM.CE}{CF} = CB = AB$

c) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$, $H$ là giao điểm của $AI$ và $DM$.

Chứng minh $AH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của $\Delta MAD$, từ đó suy ra $\Delta MAD$ cân tại $A$.

a) Vì $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$ và $AB = BC$ nên $BE = CF$.

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta CFD$ có:

$BE = CF$, $\widehat{EBC} = \widehat{FCD} = 90^{{^\circ}}$, $BC = CD$

Do đó $\Delta BEC = \Delta CFD$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BCE} = \widehat{CDF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{CDF} + \widehat{CFD} = 90^{{^\circ}}$ (vì $\Delta CFD$ vuông tại $C$)

nên $\widehat{BCE} + \widehat{CFD} = 90^{{^\circ}}$

hay $\widehat{MCF} + \widehat{MFC} = 90^{{^\circ}}$

Suy ra $\widehat{CMF} = 90^{{^\circ}}$

Vậy $CE\bot DF$

b) Xét $\Delta DMC$ và $\Delta DCF$ có:

$\widehat{DMC} = \widehat{DCF} = 90^{{^\circ}}$

$\widehat{CDF}$ chung

Do đó $\Delta DMC \backsim \Delta DCF$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{DM}{DC} = \dfrac{DC}{DF}$ (Hai cạnh tương ứng)

hay $CD^{2} = DM.DF$

Xét $\Delta CMF$ và $\Delta CBE$ có:

$\widehat{CMF} = \widehat{CBE} = 90^{{^\circ}}$

$\widehat{BCE}$ chung

Do đó $\Delta CMF \backsim \Delta CBE$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{CM}{CB} = \dfrac{CF}{CE}$ (Hai cạnh tương ứng)

hay $CM.CE = CB.CF$

Suy ra $\dfrac{CM.CE}{CF} = CB = AB$

c) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$, $H$ là giao điểm của $AI$ và $DM$.

Ta có $AE \parallel IC$ và $AE = IC = \dfrac{AB}{2}$ nên tứ giác $AECI$ là hình bình hành, suy ra $AI \parallel CE$.

Trong $\Delta DMC$ có $I$ là trung điểm của $DC$ và $IH \parallel CM$ nên $H$ là trung điểm của $DM$.

Mặt khác $AI \parallel CE$ và $CE\bot DF$ nên $AH\bot DM$.

Do đó $AH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của $\Delta MAD$, suy ra $\Delta MAD$ cân tại $A$.