Đề giữa học kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Lê Trọng Tấn – TP HCM

Giả sử hàm số $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 1$ đạt cực đại tại $x = a$ và đạt cực tiểu tại $x = b$. Giá trị của biểu thức $A = 2a^{2} + b^{3}$ là bao nhiêu?

Cho hàm số $y = x^{3} - 3\left( {m + 1} \right)x^{2} + 3\left( {7m - 3} \right)x$. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị. Tổng tất cả các giá trị trong tập hợp S là?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$, $B\left( {2; - 1;3} \right)$, $C\left( {- 2;3;3} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCM$. Giá trị của biểu thức $P = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ bằng bao nhiêu?

Sau khi tiêm một loại thuốc vào cơ thể bệnh nhân, nồng độ thuốc trong máu (tính theo $mg/cm^{3}$) thay đổi theo công thức $C(t) = \dfrac{0,15t}{t^{2} + 1}$, trong đó $t$ là thời gian (tính theo giờ) kể từ thời điểm tiêm thuốc, $t \geq 0$. Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu $mg/cm^{3}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian $Oxyz$, một đội gồm ba drone giao hàng $A,B,C$ đang có tọa độ là $A\left( {1; - 3;2} \right)$, $B(m;m - 2;6)$,$C\left( {m - 2;m;5} \right)$, trong đó $m$ là tham số, đơn vị đo độ dài tính bằng kilomet. Biết kho hàng đang ở tại điểm $I\left( {1;1;0} \right)$. Vì lý do nhiên liệu nên các drone không được di chuyển quá xa kho hàng, cụ thể là các drone không được cách kho hành quá 100 km. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để các drone cách kho hàng không quá 100 km.

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A'C$, điểm cuối thuộc cạnh $BC'$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng?