Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 9

Một chiếc bát thủy tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng D quanh một đường thẳng a bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên trục là decimet) vào hình phẳng D tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng a sẽ trùng với trục Ox. Khi đó hình phẳng D được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x + \frac{1}{x}$, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 4. Thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh đó bằng bao nhiêu decimet khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt tại điểm M(1; 2; 3) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(3; 6; -12). Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 2 thuộc mặt phẳng (Oxy) bắt đầu xuất phát đi thẳng theo hướng vecto $\vec j = (0;1;0)$ với tốc độ không đổi v = 5 (cm/s). Tính khoảng thời gian mà trong quá trình di chuyển tấm bìa đã che khuất tầm nhìn của người quan sát. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. (Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 cm).

Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rada có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính 450 km và chiều cao 30 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với mặt phẳng Oxy là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục Oz hướng lên cao và gốc tọa độ O trùng với vị trí của rada (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là 1 km. Một tên lửa bắt đầu từ vị trí điểm A(30; –780; 60), dự định bay thẳng với vận tốc không đổi 7 km/giây hướng thẳng đến vị trí của rada. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rada phát hiện đến khi nó bắn trúng rada là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà chỉ có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chi có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Vợ ông ta nhận thấy rằng: Bình quân cứ 100 lần về nhà thì 71 lần ông ta về nhà trước 6 giờ tối. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{a}{x^{2}} + \dfrac{b}{x} + 2$, với a, b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện ${\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{1}{f(x)\text{d}x}} = 2 - 3\ln 2$. Tính T = a + b.

Cho đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{7}$.

a) Tìm một vectơ chỉ phương của $d$ và một điểm trên $d$.

b) Viết phương trình tham số của $d$.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {2;1;1} \right)$ và $B\left( {2;1;3} \right)$.

a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$ và mặt cầu (S) đi qua A.