Bài 4.61 trang 175 SBT đại số và giải tích 11


Đề bài

Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\)

Ta có

\(\eqalign{
& g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( {0 + {1 \over 2}} \right) \cr 
& = f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right) \cr 
& g\left( {{1 \over 2}} \right) = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr 
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 1 \right) \cr 
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right) \cr} \)

(vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\)).

Do đó,

\(\eqalign{
& g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) \cr &= \left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right)} \right] \cr 
& = - {\left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)

- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)

- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) < 0\)   (1)

Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)

Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.