Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 6
Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Cho số thực \(x > 0\), biểu thức \(\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }}\) bằng
-
A.
\({x^{\frac{6}{5}}}\).
-
B.
\({x^{\frac{5}{6}}}\).
-
C.
\({x^{\frac{3}{2}}}\).
-
D.
\({x^{\frac{4}{5}}}\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) là
-
A.
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\).
-
B.
\(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\).
-
C.
\(\frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\).
-
D.
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 6}}{{x + 9}}\):
-
A.
\( - \frac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(\frac{{15}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(\frac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
-
D.
\( - \frac{{15}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
Tập nghiệm của phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 7} \right) = 2\) là
-
A.
\(\left\{ { - 4;4} \right\}\)
-
B.
\(\left\{ 4 \right\}\)
-
C.
\(\left\{ 2 \right\}\)
-
D.
\(\left\{ {16} \right\}\)
Giải phương trình \(f''\left( x \right) = 0\), biết \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\).
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 2\)
-
C.
\(x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 2\)
-
D.
\(x = 1\)
Đạo hàm của hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 7\) là:
-
A.
\(y' = 4{\rm{x}} - 3\)
-
B.
\(y' = 2{{\rm{x}}^2} + 7\)
-
C.
\(y' = 4{\rm{x + 7}}\)
-
D.
\(y' = 2{{\rm{x}}^2} - 3\)
Cho A,B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
-
B.
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
-
C.
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
-
D.
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và \(OA = OB = OC = a\). Thể tích của khối tứ diện OABC bằng
-
A.
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
-
B.
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
-
C.
\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).
-
D.
\(\frac{{{a^3}}}{6}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{1}{{{2^x}}} > 8\) là
-
A.
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
-
B.
\(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
-
C.
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
-
D.
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B,\(AB = BC = a,SA = a\sqrt 3 ,\)\(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Số đo của góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là
-
A.
\(90^\circ \).
-
B.
\(30^\circ \).
-
C.
\(45^\circ \).
-
D.
\(60^\circ \).
Hàm số \(y = {\cos ^2}3x\) có đạo hàm là
-
A.
\(y' = 6\sin 6x.\)
-
B.
\(y' = 2\cos 3x.\)
-
C.
\(y' = {\rm{ \;}} - 3\sin 6x.\)
-
D.
\(y' = {\rm{ \;}} - 3\sin 3x.\)
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ". Khi đó, xác suất của biến cố \(A\) là bao nhiêu?
-
A.
\(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{35}}\).
-
B.
\(P\left( A \right) = \frac{1}{{25}}\).
-
C.
\(P\left( A \right) = \frac{4}{{49}}\).
-
D.
\(P\left( A \right) = \frac{2}{{35}}\).
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt {15} \). Tính góc giữa SC và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
-
A.
\(30^\circ \).
-
B.
\(60^\circ \).
-
C.
\(45^\circ \).
-
D.
\(90^\circ \).
Tìm tọa độ tiếp điểm của các tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(2x - y - 1 = 0\).
-
A.
\(\left( { - 2;3} \right)\)
-
B.
\(\left( {2; - 3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 2;3} \right)\) và \(\left( {0; - 1} \right)\)
-
D.
\(\left( {0; - 1} \right)\)
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng \(a\) và đường thẳng A'B hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
-
A.
\(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).
-
B.
\(V = \sqrt 3 {a^3}\).
-
C.
\(V = \frac{{3{a^3}}}{4}\).
-
D.
\(V = \frac{{{a^3}}}{4}\).
Cho khối chóp có diện tích đáy bằng \(7{a^2}\) và chiều cao bằng 9a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
A.
\(9{a^3}\)
-
B.
\(21{a^3}\)
-
C.
\(84{a^3}\)
-
D.
\(63{a^3}\)
Hai xạ A và B cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ nhất là 0,7 . Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ hai là 0,8 .
Gọi A là biến cố: “xạ thủ thứ nhất bắn trúng”,
B là biến cố: “xạ thủ thứ hai bắn trúng”
Các Khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Khi đó \(A \cup B\) là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng”
b) Biến cố \(A \cup B\) và \(A \cap B\) là hai biến cố xung khắc
c) Xác suất để cả hai người bắn trượt là: 0,6
d) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là: 0,94.
Cho khối chóp đều \(S \cdot ABCD\) có cạnh đáy là \(a\), các mặt bên tạo với đáy một góc \(60^\circ \), O là tâm đáy. Khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Thể tích hình chóp là: \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
b) Độ dài cạnh bên của hình chóp là: \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
c) Khoảng cách \(d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right)\) bằng: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
d) Khoảng cách \(d\left( {AD;SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Cho hàm số \(f(x) = - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9\), \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 6x + 1\)
a) Phương trình tiếp tuyến của hàm \(g\left( x \right)\) tại \(x = 3\) là: \(y = 3x + 107\)
b) Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) là: \(y = - 6x + 1\)
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
d) Để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m\).
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t\), trong đó \(t > 0,t\) tính bằng giây và \({\rm{s}}({\rm{t}})\) tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là: …………………………………………………………………
Cho A, B là hai biến cố. Biết \({\rm{P}} = \frac{1}{2},{\rm{P}}(B) = \frac{3}{4};{\rm{P}}(A \cap B) = \frac{1}{4}\). Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right)\) bằng: …………..
Gọi \(S\) là tập hợp gồm 6 số lẻ và 4 số chẵn. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ \(S\), xác suất để 3 số chọn ra có tích là số chẵn bằng:…………………………………………………………………………………………….
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC \cdot A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\) và đường thẳng \(A'B\) hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng:………………………….
Phương trình \({27^{2x - 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}}{\rm{ }}{\mkern 1mu} \) có tập nghiệm là:…………………………………………………..
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn \(\log _a^2\left( {{a^2}b} \right) \cdot {\log _a}\frac{b}{a} + 4 = 0\) Giá trị tập của \({\log _b}a\) bằng:…………………………………………………………………………………………
Lời giải và đáp án
Cho số thực \(x > 0\), biểu thức \(\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }}\) bằng
-
A.
\({x^{\frac{6}{5}}}\).
-
B.
\({x^{\frac{5}{6}}}\).
-
C.
\({x^{\frac{3}{2}}}\).
-
D.
\({x^{\frac{4}{5}}}\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) là
-
A.
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\).
-
B.
\(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\).
-
C.
\(\frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\).
-
D.
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\).
Đáp án : C
Đạo hàm của hàm số logarit
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\)
Đáp án C.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 6}}{{x + 9}}\):
-
A.
\( - \frac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(\frac{{15}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(\frac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
-
D.
\( - \frac{{15}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( {x + 9} \right) - \left( {x + 6} \right)}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\).
Đáp án C.
Tập nghiệm của phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 7} \right) = 2\) là
-
A.
\(\left\{ { - 4;4} \right\}\)
-
B.
\(\left\{ 4 \right\}\)
-
C.
\(\left\{ 2 \right\}\)
-
D.
\(\left\{ {16} \right\}\)
Đáp án : A
\({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 7} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 7 = {3^2}}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 7 = 9}\\{ \Leftrightarrow {x^2} = 16}\\{ \Leftrightarrow x = {\rm{ \;}} \pm 4(tm)}\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { - 4;4} \right\}\)
Đáp án A.
Giải phương trình \(f''\left( x \right) = 0\), biết \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\).
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 2\)
-
C.
\(x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 2\)
-
D.
\(x = 1\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)'} = n{x^{n - 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ne {\rm{\;}} - 1} \right)\).
\(\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow f''\left( x \right) = 6x - 6}\\{ \Rightarrow f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1}\end{array}\)
Đáp án D.
Đạo hàm của hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 7\) là:
-
A.
\(y' = 4{\rm{x}} - 3\)
-
B.
\(y' = 2{{\rm{x}}^2} + 7\)
-
C.
\(y' = 4{\rm{x + 7}}\)
-
D.
\(y' = 2{{\rm{x}}^2} - 3\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức đạo hàm của các hàm cơ bản.
Ta có: \(y = 2{x^2} - 3x + 7\)\( \Rightarrow y' = 4x - 3\)
Đáp án A.
Cho A,B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
-
B.
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
-
C.
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
-
D.
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Đáp án : A
Cho hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\).
Vì A,B là hai biến cố xung khắc nên \(A \cap B = \emptyset \). Từ đó suy ra \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Đáp án A.
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và \(OA = OB = OC = a\). Thể tích của khối tứ diện OABC bằng
-
A.
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
-
B.
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
-
C.
\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).
-
D.
\(\frac{{{a^3}}}{6}\).
Đáp án : D
\({V_{O.ABC}} = \frac{1}{3}OA.{S_{OBC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC\)
Từ giả thiết ta thấy \(OA \bot (OBC)\) và OBC là tam giác vuông nên thể tích cần tìm là:
\({V_{O.ABC}} = \frac{1}{3}OA.{S_{OBC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Đáp án D.
Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{1}{{{2^x}}} > 8\) là
-
A.
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
-
B.
\(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
-
C.
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
-
D.
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Đáp án : B
\({a^x} < b \Leftrightarrow x > {\log _a}b\) với \(0 < a < 1\)
\({a^x} < b \Leftrightarrow x < {\log _a}b\) với \(a > 1\)
\(\frac{1}{{{2^x}}} > 8 \Leftrightarrow {2^{ - x}} > {2^3} \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - x > 3 \Leftrightarrow x < {\rm{ \;}} - 3\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)
Đáp án B.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B,\(AB = BC = a,SA = a\sqrt 3 ,\)\(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Số đo của góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là
-
A.
\(90^\circ \).
-
B.
\(30^\circ \).
-
C.
\(45^\circ \).
-
D.
\(60^\circ \).
Đáp án : D
Xác định góc giữa hai mặt phẳng tạo thành.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB} \right.\).
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{BC \bot AB}\\{BC \bot SB}\end{array} \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \angle } \right.SBA\).
Xét vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{tan}}\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 {\rm{ \;}} \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Đáp án D.
Hàm số \(y = {\cos ^2}3x\) có đạo hàm là
-
A.
\(y' = 6\sin 6x.\)
-
B.
\(y' = 2\cos 3x.\)
-
C.
\(y' = {\rm{ \;}} - 3\sin 6x.\)
-
D.
\(y' = {\rm{ \;}} - 3\sin 3x.\)
Đáp án : C
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp.
Ta có: \(y' = 2cos3x.\left( { - \sin 3x} \right).3 = {\rm{ \;}} - 6\sin 3x.cos3x = {\rm{ \;}} - 3\sin 6x\)
Đáp án C.
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ". Khi đó, xác suất của biến cố \(A\) là bao nhiêu?
-
A.
\(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{35}}\).
-
B.
\(P\left( A \right) = \frac{1}{{25}}\).
-
C.
\(P\left( A \right) = \frac{4}{{49}}\).
-
D.
\(P\left( A \right) = \frac{2}{{35}}\).
Đáp án : D
A,B là hai biến cố độc lập nên: \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
Gọi \({\rm{A}}\) là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. "
Gọi \(X\) là biến cố: "người thứ nhất ném trúng rổ" \( \Rightarrow P\left( X \right) = \frac{1}{5}\).
Gọi Y là biến cố: "người thứ hai ném trúng rổ" \( \Rightarrow P\left( Y \right) = \frac{2}{7}\).
Ta thấy biến cố X,Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( {X \cdot Y} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( Y \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\).
Đáp án D.
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt {15} \). Tính góc giữa SC và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
-
A.
\(30^\circ \).
-
B.
\(60^\circ \).
-
C.
\(45^\circ \).
-
D.
\(90^\circ \).
Đáp án : B
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
\((SC,\widehat {(ABD})) = (SC;\widehat {(ABCD})) = (\widehat {SC;AC}) = \widehat {SCA}.\)
Xét tam giác vuông SAC, ta có:
\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{SA}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} }} = \sqrt 3 .\)
Suy ra \(\widehat {SCA} = {60^\circ }\).
Đáp án B.
Tìm tọa độ tiếp điểm của các tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(2x - y - 1 = 0\).
-
A.
\(\left( { - 2;3} \right)\)
-
B.
\(\left( {2; - 3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 2;3} \right)\) và \(\left( {0; - 1} \right)\)
-
D.
\(\left( {0; - 1} \right)\)
Đáp án : A
ĐKXĐ: \(x \ne - 1\)
Ta có \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng \(2x - y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 2x - 1\). Khi đó ta có \(\frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Với \(x = 0 \Rightarrow y = {\rm{ \;}} - 1\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là \(y = 2\left( {x - 0} \right) - 1 = 2x - 1\) (loại)
Với \(x = {\rm{ \;}} - 2 \Rightarrow y = 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là \(y = 2\left( {x + 2} \right) + 3 = 2x + 7\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow \) Tọa độ tiếp điểm là \(\left( { - 2;3} \right)\).
Vậy tọa độ tiếp điểm cần tìm là \(\left( { - 2;3} \right)\).
Đáp án A.
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng \(a\) và đường thẳng A'B hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
-
A.
\(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).
-
B.
\(V = \sqrt 3 {a^3}\).
-
C.
\(V = \frac{{3{a^3}}}{4}\).
-
D.
\(V = \frac{{{a^3}}}{4}\).
Đáp án : C
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\), chiều cao \(h\) là \(V = h.B\)
Ta có: \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}\)
Theo giả thiết \(\widehat {A'BA} = 60^\circ \)
Lại có: \(\tan 60^\circ = \frac{{AA'}}{{AB}} \Rightarrow AA' = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \)
Thể tích khối lăng trụ đã cho là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}\)
Đáp án C.
Cho khối chóp có diện tích đáy bằng \(7{a^2}\) và chiều cao bằng 9a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
A.
\(9{a^3}\)
-
B.
\(21{a^3}\)
-
C.
\(84{a^3}\)
-
D.
\(63{a^3}\)
Hai xạ A và B cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ nhất là 0,7 . Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ hai là 0,8 .
Gọi A là biến cố: “xạ thủ thứ nhất bắn trúng”,
B là biến cố: “xạ thủ thứ hai bắn trúng”
Các Khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Khi đó \(A \cup B\) là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng”
b) Biến cố \(A \cup B\) và \(A \cap B\) là hai biến cố xung khắc
c) Xác suất để cả hai người bắn trượt là: 0,6
d) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là: 0,94.
a) Khi đó \(A \cup B\) là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng”
b) Biến cố \(A \cup B\) và \(A \cap B\) là hai biến cố xung khắc
c) Xác suất để cả hai người bắn trượt là: 0,6
d) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là: 0,94.
Dùng kiến thức về biến cố, biến cố đối, biến cố xung khắc, xác suất của biến cố
a) Sai. Vì \(A \cup B\) là biến cố: “xạ thủ A bắn trúng hoặc xạ thủ B bắn trúng”.
b) Sai. Vì biến cố \(A \cap B\) nằm trong \(A \cup B\).
c) Sai. Vì xác suất để A và B bắn trượt lần lượt là: 0,3 và 0,4. Xác suất cả hai người bắn trượt là: 0,06
d) Đúng. Vì xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích là biến cố đối của biến cố cả hai người đều bắn trượt: 1 – 0,06 = 0,94
Cho khối chóp đều \(S \cdot ABCD\) có cạnh đáy là \(a\), các mặt bên tạo với đáy một góc \(60^\circ \), O là tâm đáy. Khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Thể tích hình chóp là: \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
b) Độ dài cạnh bên của hình chóp là: \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
c) Khoảng cách \(d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right)\) bằng: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
d) Khoảng cách \(d\left( {AD;SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
a) Thể tích hình chóp là: \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
b) Độ dài cạnh bên của hình chóp là: \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
c) Khoảng cách \(d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right)\) bằng: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
d) Khoảng cách \(d\left( {AD;SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
a) Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\), chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}h.B\)
b) Áp dụng định lí Pytago
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
d) \(d\left( {AD;SC} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right)\)
a) Sai.
Gọi \(M\) là trung điểm BC, Góc giữa mặt bên \((SBC)\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(\widehat {SMO} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta SOM\) có \(OM = \frac{a}{2},SMO = 60^\circ \) thì
\(SO = OM \cdot \tan \widehat {SMO} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Nên \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO{S_{AGCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}(dvtt)\).
b) Đúng.
Đúng. Xét \(\Delta SOB\) vuông tại O ta có:
\(SB = \sqrt {O{M^2} + O{B^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\).
c) Đúng.
Kẻ OH vuông góc với SM khi đó \(d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right) = OH\)
Xét \(\Delta SOM\)vuông tại O có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
d) Sai
Vì \(AD//CB\) mà \(CB \subset \left( {SBC} \right)\) nên
\(d\left( {AD;SC} \right) = d\left( {AD;\left( {SCB} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Cho hàm số \(f(x) = - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9\), \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 6x + 1\)
a) Phương trình tiếp tuyến của hàm \(g\left( x \right)\) tại \(x = 3\) là: \(y = 3x + 107\)
b) Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) là: \(y = - 6x + 1\)
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
d) Để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m\).
a) Phương trình tiếp tuyến của hàm \(g\left( x \right)\) tại \(x = 3\) là: \(y = 3x + 107\)
b) Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) là: \(y = - 6x + 1\)
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
d) Để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m\).
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
b) Hai đường thẳng song song khi chúng có hệ số góc bằng nhau
c) Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) hoặc \(\Delta ' > 0\)
d) Chia trường hợp rồi tìm các giá trị m thỏa mãn
a) Sai
Ta có: \(g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 \Rightarrow g'\left( 3 \right) = 48\)
Ta có \(x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = 37 \Rightarrow A\left( {3;37} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(A\left( {3;37} \right)\) là: \(y = 48\left( {x - 3} \right) + 37 \Rightarrow y = 3x - 107\)
b) Đúng.
Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) nên ta có hệ số góc bẳng \( - 6\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 = - 6 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 1\) vậy \(B\left( {0;1} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(B\left( {0;1} \right)\) là: \(y = - 6\left( {x - 0} \right) + 1 = - 6x + 1\)
c) Sai
Ta có \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - m{x^2} + 2mx - 3 = 6{x^2} - 6\\ \Leftrightarrow \left( {m + 6} \right){x^2} - 2mx - 3 = 0\end{array}\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
\(\left\{ \begin{array}{l}m + 6 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 6\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0,\forall m \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)
Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(m \ne - 6\).
d) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f(x) = - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9\)
\( \Rightarrow f'(x) = - m{x^2} + 2mx - 3\)
\(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)
\({\rm{TH1: }}m = 0 \Rightarrow f'(x) = - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ }}\)
\({\rm{TH2: }}m \ne 0\)
\( - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m < 0}\\{\Delta ' = {m^2} - 3m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{0 \le m \le 3}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m \le 3} \right.} \right.\)
Vậy \(0 \le m \le 3\).
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t\), trong đó \(t > 0,t\) tính bằng giây và \({\rm{s}}({\rm{t}})\) tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là: …………………………………………………………………
Ta có: \(s(t)'' = v(t)' = a(t)\)
\(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t \Rightarrow v(t) = 3{t^2} - 6t - 9 \Rightarrow a(t) = 6t - 6\)
\(v = 0 \Rightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
Vậy \(a(3) = 6.3 - 6 = 12\left( {\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\).
Cho A, B là hai biến cố. Biết \({\rm{P}} = \frac{1}{2},{\rm{P}}(B) = \frac{3}{4};{\rm{P}}(A \cap B) = \frac{1}{4}\). Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right)\) bằng: …………..
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
A, B là hai biến cố bất kỳ ta luôn có:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = 1\)
Gọi \(S\) là tập hợp gồm 6 số lẻ và 4 số chẵn. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ \(S\), xác suất để 3 số chọn ra có tích là số chẵn bằng:…………………………………………………………………………………………….
Dùng biến cố đối
\({n_\Omega } = C_{10}^3 = 120\)
Gọi \({\rm{A}}\) là biến cố: "Chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số chẵn"
\(\bar A\) : "Chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số lẻ".
Để chọn được 3 số tự nhiên có tích là 1 số lẻ thì cả 3 số phải cùng lẻ
\( \Rightarrow {n_{\bar A}} = C_6^3 = 20 \Rightarrow {n_A} = 120 - 20 = 100.\)
Vậy \(P(A) = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\).
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC \cdot A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\) và đường thẳng \(A'B\) hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng:………………………….
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\), chiều cao \(h\) là \(V = h.B\)
Ta có: \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow \left( {A'B,(ABC)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}\)
Theo giả thiết \(\widehat {A'BA} = 60^\circ \)
Lại có: \(\tan 60^\circ = \frac{{AA'}}{{AB}} \Rightarrow AA' = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \)
Thể tích khối lăng trụ đã cho là \({V_{ABC \cdot A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}\)
Phương trình \({27^{2x - 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}}{\rm{ }}{\mkern 1mu} \) có tập nghiệm là:…………………………………………………..
\({a^x} = {a^y} \Leftrightarrow x = y\)
Ta có: \({27^{2x - 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}} \Leftrightarrow {3^{6x - 9}} = {3^{ - {x^2} - 2}}\)
\( \Leftrightarrow 6x - 9 = - {x^2} - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 7}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\{ 1; - 7\} \)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn \(\log _a^2\left( {{a^2}b} \right) \cdot {\log _a}\frac{b}{a} + 4 = 0\) Giá trị tập của \({\log _b}a\) bằng:…………………………………………………………………………………………
Sử dụng công thức logarit để giải phương trình
\(\log _a^2\left( {{a^2}b} \right) \cdot {\log _a}\frac{b}{a} + 4 = 0{\rm{ }}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b} \right)^2} \cdot \left( {{{\log }_a}b - {{\log }_a}a} \right) = - 4\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2 + {{\log }_a}b} \right)^2} \cdot \left( {{{\log }_a}b - 1} \right) = - 4\)
\( \Leftrightarrow \left( {\log _a^2b + 4{{\log }_a}b + 4} \right)\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) = - 4\)
\( \Leftrightarrow \log _a^3b + 4\log _a^2b + 4{\log _a}b - \log _a^2b - 4{\log _a}b - 4 = - 4\)
\( \Leftrightarrow \log _a^3b + 3\log _a^2b = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_a}b = 0}\\{{{\log }_a}b = - 3}\end{array}} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ {0; - 3} \right\}\).
Phần I. Trắc nghiệm. Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1: Với b,c là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}b \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}c\), khẳng định nào dưới đây là đúng? A. \(b \ge c\). B. \(b \le c\). C. \(b > c\). D. \(b < c\).
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
A. NỘI DUNG ÔN TẬP I. Đại số 1. Hàm số mũ và hàm số logarit - Lũy thừa với số mũ thực - Logarit - Hàm số mũ và hàm số logarit - Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
