Phương pháp giải:

Dựa vào công thức đã học \({a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R\) với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra trực tiếp tính đúng sai của các công thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \Rightarrow \) Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án C sai.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Nhận biết được công thức định lí Sin: \({a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A.\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức đã học về tính độ dài đường trung tuyến của tam giác khi biết 3 cạnh của tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Bình phương độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC là  \(m_a^2 = {{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \over 4}\). Với a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác:

\(S = {1 \over 2}a.{h_a} = {1 \over 2}b.{h_b} = {1 \over 2}c.{h_c}\)

\(S = {{abc} \over {4R}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({1 \over 2}a.{h_a} = {{abc} \over {4R}}\). Suy ra \({h_a} = {{bc} \over {2R}}.\) hay \(bc = 2R.{h_a}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Nhận biết được công thức tính độ dài trung tuyến hạ từ đỉnh A: \(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\)

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác ABC, độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A là \(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức định lí cosin \(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} - 2MP.PN\cos P\)

Lời giải chi tiết:

\(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} - 2MP.PN\cos P = {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\cos 120 = 129 \Rightarrow MN \approx 11,4.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức định lí sin \({a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R\) ta có \(\sin A = {a \over {2R}};\sin B = {b \over {2R}};\sin C = {c \over {2R}}\). 

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}};\sin B = {b \over {2R}};\sin C = {c \over {2R}}  \cr   &  \Rightarrow M = \sin A - 2\sin B + \sin C = {a \over {2R}} - 2.{b \over {2R}} + {c \over {2R}} = {{a - 2b + c} \over {2R}} = {{4 - 2.5 + 6} \over {2R}} = 0 \cr} \).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức định lí sin: \({a \over {\sin A}} = 2R\)  và công thức tính diện tích \(S = {1 \over 2}ab\sin C\)

Lời giải chi tiết:

Do tam giác ABC đều nên ta có \(A = {60^0}\).

Sử dụng công thức định lý sin: \({a \over {\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R.\sin A = 2.8.\sin {60^0} = 8\sqrt 3 \) ta có.

Do tam giác ABC đều nên ta có \(a = b\) và \(C = {60^0}\), áp dụng \(S = {1 \over 2}ab\sin C\)  ta có \(S = {1 \over 2}{a^2}\sin {60^0 } = {1 \over 2}.{\left( {8\sqrt 3 } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = 48\sqrt 3 \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = {1 \over 2}a{h_a} = {1 \over 2}b{h_b} = {1 \over 2}c{h_c}\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = {c^2}\,\,\left( {{4^2} + {3^2} = {5^2}} \right)\). Suy ra tam giác ABC vuông tại C (theo định lý Pitago đảo).

Ta có \(S = {1 \over 2}a.b = {1 \over 2}.4.3 = 6\)

Mặt khác ta cũng có:  \(S = {1 \over 2}c.{h_c} \Rightarrow {h_c} = {{2S} \over c} = {{12} \over 5}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung tuyến \(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\)

Lời giải chi tiết:

\(MA_a^2 = {{{{12}^2} + {9^2}} \over 2} - {{{{15}^2}} \over 4} = {{225} \over 4} \Rightarrow MA = {{15} \over 2}\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức trung tuyến:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4}  \cr   &  \Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} + {{{a^2} + {c^2}} \over 2} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} - {{{b^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \over 2} - {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3 \over 4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {{75} \over 2} \cr} \)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức trung tuyến:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr} \)

Kết hợp sử dụng tính chất trọng tâm ta có  \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}={2 \over 3}\) (\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2\))

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4}  \cr   &  \Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} + {{{a^2} + {c^2}} \over 2} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} - {{{b^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \over 2} - {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3 \over 4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {{183} \over 4} \cr} \)

Theo tính chất trọng tâm ta có: \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = {4 \over 9}\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = {{61} \over 3}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cosin \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\)

Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) suy ra \(\cos A > 0\). Suy ra A nhọn.

Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\) suy ra \(\cos A = 0\). Suy ra A vuông.

Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} < 0\) suy ra \(\cos A < 0\). Suy ra A tù.

Chọn A

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý sin :

Cho tam giác ABC ta có \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) (R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Lời giải chi tiết:

Theo định lý hàm số sin ta có : \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow b = 2R.\sin B\)

\( \Rightarrow \) đáp án A sai.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý cosin: Cho tam giác \(ABC,\)có độ dài ba cạnh là \(BC = a,\,AC = b,\,AB = c\)

\( \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)

Lời giải chi tiết:

Cho tam giác \(ABC,\)có độ dài ba cạnh là \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c\)

Áp dụng hệ thức hàm số cos của tam giác ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)

\( \Rightarrow \)đáp B sai.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính trung tuyến \(\,\,\,\,\,m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\)

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC có AB = a, BC = b, AC = n.  Giả sử\(AC \cap BD = I.\)

Theo tính chất, hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên ta có BI là trung tuyến của tam giác ABC và BD = 2BI. Suy ra \(BI = {m \over 2}\)

Ta có \(B{I^2} = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{n^2}} \over 4}\)  (*)

Thay \(BI = {m \over 2}\) vào (*) ta có

\({{{m^2}} \over 4} = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{n^2}} \over 4} \Leftrightarrow {{{m^2} + {n^2}} \over 4} = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí cosin:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Theo định lí hàm cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos C\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + B{C^2} - 2.\sqrt 3 .BC.\cos {45^o}\\ \Rightarrow BC = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác:

\(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\angle ABC = {180^o} - \left( {\angle BAC + \angle ACB} \right) = {75^o} = \angle ACB\)

Suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC = 4.\)

Khi đó, diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = 4.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\): \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R\) với \(R\)  là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sin {{45}^0}}} \Rightarrow AC = \sqrt 3 \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác: \(\left| {a - b} \right| < c < a + b\) với \(a,b,c\) là ba cạnh của một tam giác.

Diện tích tam giác có ba cạnh \(a,b,c\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Với \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\) là nửa chu vi tam giác

Lời giải chi tiết:

Chu vi tam giác là 8 nên bộ ba số có tổng bằng 8 và thỏa mãn bất đẳng thức tam giác chỉ có thể là 3,3,2

Nửa chu vi tam giác là: \(8:2 = 4\)

Diện tích tam giác là: \(S = \sqrt {4.\left( {4 - 3} \right)\left( {4 - 2} \right)\left( {4 - 3} \right)}  = 2\sqrt 2 \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)có đường cao \(AH = h\)

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có tỉ lệ hai cạnh góc vuông \(AB:AC = 3:4\)nên \(AB\) là cạnh nhỏ nhất trong tam giác.

Ta có \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow AC = \frac{3}{4}AB\)

Trong tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao \( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{\left( {\frac{4}{3}A{B^2}} \right)}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{32}^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{9}{{16A{B^2}}} \Rightarrow AB = 40.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)có đường cao \(AH = h\)

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có tỉ lệ hai cạnh góc vuông \(AB:AC = 3:4\)nên \(AB\) là cạnh nhỏ nhất trong tam giác.

Ta có \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow AC = \frac{3}{4}AB\)

Trong tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao \( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{\left( {\frac{4}{3}A{B^2}} \right)}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{32}^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{9}{{16A{B^2}}} \Rightarrow AB = 40.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức Herong tính diện tích tam giác có các cạnh \(a,\;b,\;c:\)

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) trong đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(p = \frac{{BC + AC + AB}}{2} = \frac{{9 + 11 + 8}}{2} = 14.\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \sqrt {14\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 11} \right)\left( {14 - 8} \right)}  = 6\sqrt {35} \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí đường trung tuyến của tam giác \(ABC\):

\(\begin{array}{l}{m_a}^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\{m_b}^2 = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) - {b^2}}}{4}\\{m_c}^2 = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí đường trung tuyến vào tam giác \(ABC:\)

\(\begin{array}{l}{m_a}^2 = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{{8^2} + {6^2}}}{2} - \dfrac{{{{10}^2}}}{4} = 25\\ \Rightarrow {m_a} = 5\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC:\)  \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) , trong đó \(R\): bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí sin, ta có \(\frac{{BC}}{{\sin \angle BAC}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin \angle A}} = \frac{{10}}{{2.\sin {{30}^o}}} = 10\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng công thức: \(S = {1 \over 2}BC.CA.\sin C\)

Lời giải chi tiết:

+ Có \(S = {1 \over 2}BC.CA.\sin C\)

+ Gọi S’ là diện tích tam giác khi tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C, ta có: \(S' = {1 \over 2}.2BC.3CA.\sin C =6.{1 \over 2}.BC.CA.\sin C = 6S\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng định lý Pitago \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) để tính AC.

+ Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác \(S = {1 \over 2}AB.AC\) và \(S = p.r\)

Lời giải chi tiết:

+ Áp dụng định lí Py – ta – go có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{20}^2} - {{12}^2}}  = 16\)

+ \(S = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.12.16 = 96\)

+ \(p = {{a + b + c} \over 2} = {{12 + 20 + 16} \over 2} = 24\)

+ \(r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý sin: \({a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = 2R\) và định lí cos: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.cosC\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = 2R \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\sin B = {b \over {2R}}  \cr   & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.cosC \Rightarrow \cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2bc}}  \cr   &  \Rightarrow {{\sin A} \over {\sin B\cos C}} = 2 \Leftrightarrow {{{a \over {2R}}} \over {{b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}}} = 2  \cr   &  \Leftrightarrow 2{a^2} = 2({a^2} + {b^2} - {c^2}) \Leftrightarrow {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow b = c. \cr} \).

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức định lí cosin: \(\left\{ \matrix{  {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA \hfill \cr   {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.cosB \hfill \cr   {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.cosC \hfill \cr}  \right.\) và công thức định lí sin: \({a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA \hfill \cr   {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.cosB \hfill \cr   {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.cosC \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} \hfill \cr   \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \hfill \cr   \cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \hfill \cr}  \right.  \cr   & {a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R \Rightarrow \left\{ \matrix{  \sin A = {a \over {2R}} \hfill \cr   \sin B = {b \over {2R}} \hfill \cr   \sin C = {c \over {2R}} \hfill \cr}  \right.  \cr   & \cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right) \Leftrightarrow {{\cos A} \over {\sin A}} = 2\left( {{{\cos B} \over {\sin B}} + {{\cos C} \over {\sin C}}} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {{{{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}} \over {{a \over {2R}}}} = 2\left( {{{{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}}} \over {{b \over {2R}}}} + {{{{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over {2ab}}} \over {{c \over {2R}}}}} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)} \over {abc}} = 2\left( {{{R\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \over {abc}} + {{R\left( {{b^2} + {a^2} - {c^2}} \right)} \over {abc}}} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)} \over {abc}} = {{4R{a^2}} \over {abc}}  \cr   &  \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2} \cr} \).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 2a.

+ Sử dụng định lý Pitago \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)  để tính BC.

+ Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác \(S = {1 \over 2}AB.AC\)  và \(S = p.r\)

Lời giải chi tiết:

+ Có \(AC = 2a\)

+ Có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}}  = 2\sqrt 2 a\)

\(\eqalign{  &  + )\,\,\,S = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.2a.2a = 2{a^2}  \cr   &  + )\,\,\,p = {{a + b + c} \over 2} = {{2a + 2a + 2\sqrt 2 a} \over 2} = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)a  \cr   &  + )\,\,\,r = {S \over p} = {{2{a^2}} \over {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}} = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right) \cr} \)

Chọn C

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương hệ thức đã cho rồi áp dụng định lý cosin \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\((a + b + c)(a + b - c) = 3ab\)

\( \Leftrightarrow {(a + b)^2} - {c^2} = 3ab \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab - {c^2} = 3ab \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = ab\).

Áp dụng định lý cosin \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)  ta có \({a^2} + {b^2} - {c^2} = 2ab\cos C\). Do đó, ta có

\(2ab\cos C = ab \Leftrightarrow \cos C = {1 \over 2} \Leftrightarrow C = {60^0}\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức Định lý cosin:

\(\eqalign{  & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,CosA  \cr   & {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\,CosB  \cr   & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\,CosC \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{35} \over {12\sqrt {15} }} \Rightarrow {\cos ^2}A = {{245} \over {432}} \Rightarrow {\sin ^2}A = {{187} \over {432}}\)

\(\cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{ - 5} \over {8\sqrt {15} }} \Rightarrow {\cos ^2}B = {5 \over {192}} \Rightarrow {\sin ^2}B = {{187} \over {192}}\)

\(\cos C = {{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over {2ab}} = {{37} \over {48}} \Rightarrow {\cos ^2}C = {{1369} \over {2304}} \Rightarrow {\sin ^2}C = {{935} \over {2304}}\)

Lần lượt kiểm tra các hệ thức ở đáp án A, B, C thấy sai.

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{ABD}} = {1 \over 2}AB.AD.\sin \widehat {BAD}\)

Lời giải chi tiết:

ABCD là hình bình hành nên BC = AD.

Xét hình bình hành ABCD ta có \(\Delta ABD = \Delta CDB\).

Do đó, \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = AB.AD.\sin \widehat {BAD} = a.a\sqrt 2 .\sin {45^0} ={a^2}\).

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích \(S = {{abc} \over {4R}}\) và công thức định lý sin cho \(\Delta ABC\):

\(\,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(S = 2{R^2}\sin B\sin C\)

Mà \(S = {{abc} \over {4R}}\).

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {{abc} \over {4R}} = 2{R^2}.\sin B.\sin C  \cr   &  \Leftrightarrow abc = 8{R^3}.\sin B.\sin C\left( * \right) \cr} \)

Áp dụng định lý sin cho \(\Delta ABC\):

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R  \cr   & \,\,\,\,\, \Rightarrow a = 2R\sin A;\,b = 2R\sin B;\,c = 2R\sin C  \cr   & \left( * \right) \Leftrightarrow 2R\sin A.2R\sin B.2R\sin C = 8{R^3}\sin B{\mathop{\rm sinC}\nolimits}   \cr   & \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 8{R^3}\sin A.\sin B.\sin C = 8{R^3}\sin B.\sin C  \cr   & \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sin A = 1  \cr   & \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \widehat A = {90^0} \cr} \)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác vuông tại A.

Chọn A

Phương pháp giải:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

Lời giải chi tiết:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

Nếu tăng độ dài cạnh AB lên gấp 3 lần, đồng thời giảng độ dài cạnh AC còn một nửa và giữ nguyên độ lớn của góc A  ta có \(S' = \frac{1}{2}.3AB.\frac{1}{2}AC.\sin A = \frac{3}{2}.\frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{3}{2}S = \frac{3}{2}.12 = 18\).

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

\(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{79{a^2}}}{2} = \frac{{16{a^2} + 81{a^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{16{a^2} + 81{a^2} - 79{a^2}}}{2} = 9{a^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 36{a^2} \Leftrightarrow BC = 9a\end{array}\)

Chọn đáp án C.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý cosin : Cho tam giác ABC ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \angle A\)

Lời giải chi tiết:

Sau 3 giờ tàu thứ nhất đi được quãng đường :\(AB = 20.3 = 60\;\;\left( {km} \right)\)

Sau 3 giờ tàu thứ hai đi được quãng đường : \(AC = 30.3 = 90\;\;\left( {km} \right)\)

Sau 3 giờ khoảng cách giữa hai tàu là :

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle A}  = \sqrt {{{60}^2} + {{90}^2} - 2.60.90.\cos {{60}^o}}  = 30\sqrt 7 \;\left( {km} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC:\)  \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) , trong đó \(R\): bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết:

Theo định lí hàm sin, ta có: \(\frac{{OB}}{{\sin \angle OAB}} = \frac{{AB}}{{\sin \angle AOB}} \Leftrightarrow OB = \frac{{AB}}{{\sin \angle AOB}}.\sin \angle OAB = \frac{1}{{\sin {{30}^o}}}.\sin \angle OAB = 2.\sin \angle OAB\)

Do đó, độ dài \(OB\) lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin \angle OAB = 1 \Leftrightarrow \angle OAB = {90^o}.\) Khi đó \(OB = 2.\)

Tam giác\(OAB\) vuông tại \(A \Rightarrow OA = \sqrt {O{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{2^2} - {1^2}}  = \sqrt 3 \)

Chọn  D

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí cosin để đưa ra công thức tính cosin góc \(\angle BAC\)

Sau đó, biến đổi đẳng thức \(b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\)để xét mối liên hệ giữa các đại lượng \(a,b,c\) dựa vào các định lí trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

Theo định lí hàm cosin, ta có: \(\cos \angle BAC = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà

\(\begin{array}{l}b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {b^3} - {a^2}b = {a^2}c - {c^3}\\ \Leftrightarrow  - {a^2}\left( {b + c} \right) + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} - bc} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} - bc = 0\left( {do{\rm{ }}b > 0,c > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = bc\end{array}\)

Khi đó, \(\cos \angle BAC = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle BAC = {60^o}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý cosin \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABC\) có \(\angle B = {135^0},\,\,BC = 3,\,\,AB = \sqrt 2 \) ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B\\ = {3^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2.3.\sqrt 2 \cos {135^0} = 17\\ \Rightarrow AC = \sqrt {17} \end{array}\)

Chọn A.