Phương pháp giải:

- Gọi E là trung điểm của AB, chứng minh \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {CE,DE} \right) = \widehat {CED}\).

- Sử dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông tìm x.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của CD.

Do tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AH\\CD \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow CD \bot AB\).

Gọi E là trung điểm của AB, do tam giác ABC cân tại C \( \Rightarrow CE \bot AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CD\\AB \bot CE\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CDE} \right) \Rightarrow AB \bot DE\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB\\\left( {ABC} \right) \supset CE \bot AB\\\left( {ABD} \right) \supset DE \bot AB\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)} \right) =  \left( {CE,DE} \right) = \widehat{CED}\).

Để \(\widehat{CED} = {90^o}\) thì:

\(\Delta ABC = \Delta ABD\) (c.c.c) nên dễ dàng chứng minh CE = DE, hay \(\Delta CDE\) vuông cân tại E.

\( \Rightarrow CD = CE\sqrt 2  \Leftrightarrow 2x = CE\sqrt 2  \Leftrightarrow CE = x\sqrt 2 \) (*)

Xét tam giác vuông CBH:

\(B{H^2} = B{C^2} - C{H^2} = {a^2} - {x^2}\).

Xét tam giác vuông ACH:

\(A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {a^2} - {x^2}\).

Xét tam giác vuông ABH có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = 2{a^2} - 2{x^2}\)

\(\Rightarrow AE = \dfrac{{\sqrt {2{a^2} - 2{x^2}} }}{2}\).

Xét tam giác vuông ACE có:

\(C{E^2} = A{C^2} - A{E^2} \)

\(= {a^2} - \dfrac{{{a^2} - {x^2}}}{2} = \dfrac{{{a^2} + {x^2}}}{2}\)

\(\Rightarrow CE = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{\sqrt 2 }}\).

Thay vào (*) ta có: \(\dfrac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{\sqrt 2 }} = x\sqrt 2 \)

\(\Leftrightarrow {a^2} + {x^2} = 4{x^2} \)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} = {a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).