Câu hỏi
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = BB' = a\), \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CC'\). Ta có cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'I} \right)\) bằng:
- A \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
- B \(\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\).
- C \(\frac{{3\sqrt 5 }}{{12}}\).
- D \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Diện tích tam giác \(ABC\):
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat A = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\).
Có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}} = a\sqrt 3 \).
Ta có: \(AB' = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \), \(AI = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\),
\(B'I = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).
Ta được \(A{B'^2} + A{I^2} = 2{a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} = B'{I^2}\). Suy ra tam giác \(AB'I\) vuông tại \(A\), có diện tích bằng:
\({S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{1}{2}a\sqrt 2 \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).
Tam giác \(ABC\) là hình chiếu vuông góc của tam giác \(AB'I\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nên ta có:
\({S_{ABC}} = \cos \alpha .{S_{AB'I}} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\).
Chọn B
Câu hỏi trước
