Phương pháp giải:

-          Rút gọn biểu thức bằng cách quy đồng mẫu .

-          Phân tích nhân tử để rút gọn

-          Tìm giá trị nhỏ nhất bằng cô-si 2 số dương: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Lời giải chi tiết:

a)      Với \(x > 0;\,\,x \ne 4\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}Q = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x  - 2}}{{x - 4}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 3\sqrt x  + 2 + 5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\end{array}\)

Vậy \(Q = \)\(\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

b)      Với \(x > 0;\,\,x \ne 4\).

Ta có : \(\dfrac{P}{Q} = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + \dfrac{3}{{\sqrt x }}\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số \(\sqrt x ;\dfrac{3}{{\sqrt x }}\) ta có

\(\sqrt x  + \dfrac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{3}{{\sqrt x }}}  = 2\sqrt 3 \)( dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = \dfrac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\))

Suy ra  min \(\dfrac{P}{Q}=2\sqrt 3 \) dấu “=” khi \(x = 3\).

Vậy \(\min \dfrac{P}{Q} = 2\sqrt 3\) khi và chỉ  khi \(x = 3\)