Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng và rút gọn biểu thức.

b) TH1: \(x = 0\)

TH2: \(x > 0\). Chia cả tử và mẫu cho \(\sqrt x  \ne 0\). Sử dụng BĐT Cô – si để đánh giá.

Lời giải chi tiết:

a) Với \(x \ge 0,x \ne 1:\)

 \(\begin{array}{l}A = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}\\A = \dfrac{{x + 2 + \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) - x - \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x + 2 + x - 1 - x - \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

b) Khi \(x = 0 \Rightarrow A = 0\).

Khi \(x > 0\) ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}}\).

Để A max thì \(B = \sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1\) min.

Áp dụng bất đăng thức Cô – si cho 2 số dương ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}}  = 2 \Rightarrow \sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 2 + 1 = 3\\ \Rightarrow B \ge 3 \Rightarrow A \le \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\dfrac{1}{3}\). Dấu bằng xảy ra khi: \(\sqrt x  = \dfrac{1}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 1.\)