Phương pháp giải:

Thay \(z =  - \left( {x + y} \right)\) vào biểu thức P và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(P = \frac{{2018\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz}}\)

Với \(z =  - \left( {x + y} \right)\)thay vào P ta có :

\(P = \frac{{2018\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz}} = \frac{{ - 2018\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {y + 2x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2\left( {x + y} \right){x^2} - 3xy\left( {x + y} \right)}}\)

Xét tử số:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\, - 2018\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {y + 2x} \right)\\ =  - 2018\left( {x - y} \right)\left( {2{x^2} + 5xy + 2{y^2}} \right)\\ =  - 2018\left( {2{x^3} + 5{x^2}y + 2x{y^2} - 2{x^2}y - 5x{y^2} - 2{y^3}} \right)\\ =  - 2018\left( {2{x^3} + 3{x^2}y - 3x{y^2} - 2{y^3}} \right)\end{array}\)

Xét mẫu số:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2x{y^2} + 2y{\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right){x^2} - 3xy\left( {x + y} \right)\\ = 2x{y^2} + 2{x^2}y + 4x{y^2} + 2{y^3} - 2{x^3} - 2{x^2}y - 3x{y^2} - 3{x^2}y\\ =  - \left( {2{x^3} + 3{x^2}y - 3x{y^2} - 2{y^3}} \right)\end{array}\)

Suy ra \(P = \frac{{ - 2018\left( {2{x^3} + 3{x^2}y - 3x{y^2} - 2{y^3}} \right)}}{{ - \left( {2{x^3} + 3{x^2}y - 3x{y^2} - 2{y^3}} \right)}} = 2018.\)

Vậy \(P = 2018\).