Phương pháp giải:

a) Giải phương trình \(M=2\) để tìm ẩn \(x\) và đối chiếu với điều kiện của \(x\) để kết luận.

b) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó rút gọn biểu thức.

c) Lấy kết quả biểu thức \(P\) đã rút gọn ở câu trên và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng cách đánh giá.

Lời giải chi tiết:

a) Cho biểu thức: \(M=\frac{2}{\sqrt{x}-2}\) với \(x\ge 0,\ x\ne 4.\) Tìm \(x\) để \(M=2.\)

Ta có: \(M=2\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}-2}=2\Leftrightarrow \sqrt{x}-2=1\Leftrightarrow \sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\ \ \left( tm \right).\)

Vậy \(x=9\) thì \(M=2\)

b) Rút gọn biểu thức: \(P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left( \frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right)\) với \(x\ge 0,\ x\ne 4.\)

\(\begin{align}  & P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left( \frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right)\ \ \ \ \ \left( x\ge 0,\ \ x\ne 4 \right) \\ & \ \ =\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left( \frac{\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right) \\ & \ \ =\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\ & \ \ =\frac{2}{\sqrt{x}-2}.\frac{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{2\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\ & \ \ =\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}. \\\end{align}\)

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P.\)

Điều kiện: \(x\ge 0,\ x\ne 4.\)

Ta có:  \(P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1+1}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}.\)

Với \(\forall \ x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+1\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+1}\le 1\Rightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\le 2.\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\ \ \left( tm \right).\)

Vậy \(Max\ P=2\ \ khi\ \ x=0.\)

Chọn C