Câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(\forall x \in \left[ {0;2018} \right]\), ta có \(f\left( x \right) > 0\) và \(f\left( x \right).f\left( {2018 - x} \right) = 1\). Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^{2018} {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}dx} \) là:
- A \(2018\)
- B 0
- C 1009
- D 4016
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = 2018 - x\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = 2018 - x \Rightarrow dt = - dx\). Khi đó
\(\begin{array}{l}I = - \int\limits_{2018}^0 {\frac{{dt}}{{1 + f\left( {2018 - t} \right)}}} = \int\limits_0^{2018} {\frac{{dt}}{{1 + \frac{1}{{f\left( t \right)}}}}} = \int\limits_0^{2018} {\frac{{f\left( t \right)dt}}{{1 + f\left( t \right)}}} \\ \Rightarrow 2I = I + I = \int\limits_0^{2018} {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}dx} + \int\limits_0^{2018} {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_0^{2018} {1dx} = \left. x \right|_0^{2018} = 2018\end{array}\)
Vậy \(I = 1009\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
