Câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-\,2}=\frac{z-1}{9}.\) Biết đường thẳng \(\Delta \) qua \(A,\) cắt \(d\) và khoảng cách từ gốc tọa độ đến \(\Delta \) nhỏ nhất, \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\left( 1;a;b \right).\) Tổng \(a+b\) là
- A
\(\frac{86}{5}.\)
- B
\(-\,\frac{86}{5}.\)
- C
\(17.\)
- D \(-\,17.\)
Phương pháp giải:
Dựng hình, đưa về bài toán tìm điểm để khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhỏ nhất
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(B\left( 1;0;1 \right),\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=\left( 1;-\,2;9 \right)\)\(\Rightarrow \,\,\left[ \overrightarrow{AB};\vec{u} \right]=\left( 9;0;-\,1 \right).\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d\) và đi qua \(A\) là \(\left( \alpha \right):9x-z-8=0.\)
Gọi \(I\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\Delta ,\) \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( \alpha \right).\)
Ta có \(d\left( O;\left( \Delta \right) \right)=OI\le OH\Rightarrow \,\,{{d}_{\min }}=OH\)\(\Leftrightarrow \)\(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( \alpha \right).\)
Phương trình đường thẳng \(OH\) là \(\left\{ \begin{align} x=9t \\ y=0 \\ z=-\,t \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \,\,H\left( 9t;0;-\,t \right)\in \left( \alpha \right)\)\(\Rightarrow t=\frac{4}{41}.\)
Vậy \(H\left( \frac{36}{41};0;-\,\frac{4}{41} \right)\Rightarrow \overrightarrow{HA}=\left( \frac{5}{41};1;\frac{45}{41} \right)=\frac{5}{41}\left( 1;\frac{41}{5};9 \right)\Rightarrow \left\{\begin{align} a=\frac{41}{5} \\ b=9 \\ \end{align} \right..\)
\(\Rightarrow a+b=\frac{41}{5}+9=\frac{86}{5}.\)
Chọn A