Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\root 3 \of {2x + 8}  - 2} \over {\sqrt {3x + 4}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left( {2x + 8 - 8} \right)\left( {\sqrt {3x + 4}  + 2} \right)} \over {\left( {{{\root 3 \of {2x + 8} }^2} + 2\root 3 \of {2x + 8}  + 4} \right)\left( {3x + 4 - 4} \right)}}  \cr   &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\left( {\sqrt {3x + 4}  + 2} \right)} \over {3\left( {{{\root 3 \of {2x + 8} }^2} + 2\root 3 \of {2x + 8}  + 4} \right)}} = {{2.\left( {2 + 2} \right)} \over {3\left( {{2^2} + 2.2 + 4} \right)}} = {2 \over 9} \cr} \)

Để hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = {2 \over 9}\)

Chọn C.