Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 2. Tích phân

Trả lời câu hỏi 3 trang 106 SGK Giải tích 12


Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2...

Đề bài

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Video hướng dẫn giải

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Tính chất 1:

+) Nếu \(k = 0\) thì tính chất đúng.

+) Nếu \(k \ne 0\) thì \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right)\) \( \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{F\left( x \right)}}{k}\)

Do đó \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) và \(k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = k.\left. {\dfrac{{F\left( x \right)}}{k}} \right|_a^b\) \( = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

Từ đó suy ra \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Tính chất 2:

Giả sử \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) lần lượt là các nguyên hàm của hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\).

Ta có: \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx}  \pm \int {g\left( x \right)dx} \) \( = F\left( x \right) \pm G\left( x \right)\)

Khi đó \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \left. {\left[ {F\left( x \right) \pm G\left( x \right)} \right]} \right|_a^b\) \( = \left[ {F\left( b \right) \pm G\left( b \right)} \right] - \left[ {F\left( a \right) \pm G\left( a \right)} \right]\) \( = \left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] \pm \left[ {G\left( b \right) - G\left( a \right)} \right]\).

Lại có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \) \( = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b \pm \left. {G\left( x \right)} \right|_a^b\) \( = \left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] \pm \left[ {G\left( b \right) - G\left( a \right)} \right]\).

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Loigiaihay.com

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua