Phương pháp giải:

Dựa vào lý thuyết về tính liên tục của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \({f_1}\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) có TXĐ: \(D = \left( {1; + \infty } \right)\), ta có  do đó hàm số liên tục trên tập xác định.

Tương tự ta chứng minh được hàm số \({f_2}\left( x \right) = x\) liên tục trên TXĐ D = R, hàm số \({f_3}\left( x \right) = \tan x\) liên tục trên TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {{\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)

Xét hàm số  \({f_4}\left( x \right) = \left\{ \matrix{{{{x^2} - 1} \over {x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1 \hfill \cr  2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}  = {{{x^2} - 1} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2 = f\left( 1 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại điểm x = 1. Do đó hàm số liên tục trên R.

Vậy có 2  hàm số trên đều liên tục trên R là: \({f_2}\left( x \right) = x\) và  \({f_4}\left( x \right) = \left\{ \matrix{{{{x^2} - 1} \over {x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1 \hfill \cr 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn D.