Phương pháp giải:

Phương  pháp:

Câu a:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức nếu đề bài chưa cho.

Bước 2:  Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức).

+) Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung,

+) Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác hay không.

Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Câu b: Xét hiệu \(\frac{P}{Q}-2\) sau đó đánh giá, chứng minh \(\frac{P}{Q}-2<0\Rightarrow \frac{P}{Q}<2.\)

Câu c: Muốn giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối trước. Sau đó biến đổi tương đương để giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

Giải:

a) ĐKXĐ: \(x\ge 0;\,\,x\ne 4.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x + 5}}{{4 - x}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) - \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x - x + \sqrt x + 2 - \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x - 3}}{{x - 4}}.\\Q = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + 1 = \frac{{3 - \sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}\)

b) Ta có: 

\(\frac{P}{Q} - 2 = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{x - 4}}:\frac{1}{{\sqrt x  - 2}} - 2 = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} - 2 = \frac{{2\sqrt x  - 3 - 2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{ - 7}}{{\sqrt x  + 2}} < 0\)

\( \Rightarrow \frac{P}{Q} < 2.\)

c) 

\(\begin{array}{l}\left| P \right| + Q = 0 \Rightarrow \left| P \right| = - Q \Rightarrow Q \le 0\\\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x - 2}} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 4 \Rightarrow 0 \le x < 4.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left| P \right| = - Q \Leftrightarrow \left| {\frac{{2\sqrt x - 3}}{{x - 4}}} \right| = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x - 2}} \Leftrightarrow \left| {\frac{{2\sqrt x - 3}}{{x - 4}}} \right| = - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt x - 3 = \sqrt x + 2\\2\sqrt x - 3 = - \sqrt x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 5\\\sqrt x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 25\,\,(l)\\x = \frac{1}{9}(tm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{1}{9}\)