Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = x + 2\) là:

\({x^2} = x + 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Với mọi \(x \in \left[ { - 1;\,\,2} \right]\) ta có: \({x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} \le x + 2\)\( \Rightarrow \left| {{x^2} - \left( {x + 2} \right)} \right| = x + 2 - {x^2}.\)

\( \Rightarrow S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - \left( {x + 2} \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {x + 2 - {x^2}} \right)dx} .\)

Chọn B.