Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm hàm số.

- Xét phương trình $y' = 0$, sử dụng tương giao đồ thị hàm số.

- Đặt ẩn phụ $t = x + 1$, dựa vào các đáp án và đồ thị hàm số xác định dấu của $y'$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $g\left( x \right) = f\left( {x + 1} \right) + {x^2} + 2x$ ta có $g'\left( x \right) = f'\left( {x + 1} \right) + 2x + 2 = f'\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)$.

Đặt $t = x + 1$ ta có $g'\left( {t - 1} \right) = f'\left( t \right) + 2t$.

Xét phương trình $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g'\left( {t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) =  - 2t$.

Vẽ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ và $y =  - 2t$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

+ Xét đáp án A: $x \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;0} \right)$.

Trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ có lúc nằm trên có lúc nằm dưới đồ thị hàm số $y =  - 2t$, do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ có lúc đồng biến có lúc nghịch biến.

+ Xét đáp án B: $x \in \left( { - 3; - 2} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 2; - 1} \right)$.

Trên khoảng $\left( { - 2; - 1} \right)$ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ nằm hoàn toàn phía dưới đồ thị hàm số $y =  - 2t$, do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - 3; - 2} \right)$.

+ Xét đáp án C: $x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$.

Trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ nằm hoàn toàn phía trên đồ thị hàm số $y =  - 2t$, do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 1;0} \right)$.

+ Xét đáp án D: $x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {1;2} \right)$.

Trên khoảng $\left( {1;2} \right)$ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ nằm hoàn toàn phía trên đồ thị hàm số $y =  - 2t$, do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {0;1} \right)$.

Vậy cả đáp án C và D đều đúng.

Chọn E.