Câu hỏi
Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,x - y = 0\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- A \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\)
- B \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\)
- C \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\)
- D \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\)
Phương pháp giải:
- Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Tọa độ các giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right.\).
- Cho lần lượt \(x = 0,\,\,x = 1\) tìm tọa độ 2 điểm \(A,\,\,B \in \Delta \).
- Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm A, B.
- Dựa vào các đáp án chọn điểm đi qua phù hợp và viết phương trình đường thẳng.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Tọa độ các giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - 2x\end{array} \right.\).
Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right) \in \Delta \).
Cho \(x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {1;1; - 1} \right) \in \Delta \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\),
Chọn \(t = - 1\) ta có điểm \(C\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta \).
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và có 1 VTCP \(\left( {1;1; - 2} \right)\) là: \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\).
Chọn C.