Câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\), \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và đường thẳng d có phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua M và vuông góc với d sao cho khoảng cách từ điểm A đến d’ nhỏ nhất là
- A \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2\\z = 1 + t\end{array} \right.\)
- B \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 2 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
- C \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2 - t\\z = 1\end{array} \right.\)
- D \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
- Tìm \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa d’ và vuông góc với d.
- Tìm hình chiếu của A trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
- Tìm phương trình đường thẳng d’.
Lời giải chi tiết:
+)Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa d’ và vuông góc với \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\) và đi qua \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\) có phương trình là \(2x + 2y - z + 9 = 0\)
+)Đường thẳng m đi qua điểm A và vuông góc vói mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Nên đường thẳng m có vecto chỉ phương là \(\left( {2;2; - 1} \right)\) và đi qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) có dạng \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\)
Gọi B là giao điểm của đường thẳng m và mặt phẳng \(\left( P \right)\)
\(\begin{array}{l}B\left( {2t + 1;2t + 2; - t - 3} \right) \in \left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0 \Rightarrow t = - 2\\ \Rightarrow B\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\end{array}\)
Để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ là nhỏ nhất thì d’ đi qua \(B\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\) và \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {BM} = \left( {1;0;2} \right)\)
Phương trình đường thẳng d’ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
Chọn D.