Câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( P \right)\) có phương trình là
- A \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
- B \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
- C \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
- D \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\)
Phương pháp giải:
- Tìm phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và \(\left( P \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_d}} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {0; - 2; - 2} \right)\)
Mà \(I\left( {0;0; - 1} \right) \in d \Rightarrow I\left( {0;0; - 1} \right) \in \left( Q \right)\)
Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(y + z + 1 = 0\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z + 1 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\)
+) Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = - 1\\ - y + z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0; - 1} \right)\)
+) Cho \(z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x - y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)
Phương trình hình chiếu của d trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;0; - 1} \right);B\left( { - 2; - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \left( {2;1; - 1} \right)\)
Có phương trình là \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
Chọn C.