Câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 13 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thì giá trị của \(a + b + c\) bằng:
- A \(5.\)
- B \(2.\)
- C \( - 11.\)
- D \(1.\)
Phương pháp giải:
- Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\)chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
- Xác định tâm \(A\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
- Viết phương trình đường thẳng \(AI\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).
- Tìm \(I\) là giao điểm của \(AI\) và \(\left( P \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 45\) có tâm là \(A\left( {1;2; - 1} \right).\)
Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(I\) thì \(I\)chính là hình chiếu của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do đó \(AI\) là đường thẳng đi qua \(A\). và vuông góc với \(mp\left( P \right)\).
Ta có \({\overrightarrow u _{IA}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right)\). Suy ra phương trinh đường thẳng \(AI:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\).
Vì \(I \in AI\) nên gọi \(I\left( {1 + t;2 + t; - 1 - t} \right).\)
Mặt khác \(I \in \left( P \right)\), nên ta có: \(1 + t + 2 + t + 1 + t - 13 = 0 \Leftrightarrow 3t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.\)
\( \Rightarrow I\left( {4;5; - 4} \right) \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5,\,\,c = - 4.\)
Vậy \(a + b + c = 4 + 5 + \left( { - 4} \right) = 5.\)
Chọn A.