Phương pháp giải:

- Biến đổi \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\). Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

- Sử dụng nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} }}}  = \dfrac{2}{a}\sqrt {ax + b}  + C\).

- Thay \(x = 0\) tìm hằng số \(C\). Từ đó suy ra hàm số \(f\left( x \right)\).

- Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng MTCT.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} \left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt x } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)dx} \) \( = 2\sqrt x  - 2\sqrt {x + 1}  + C\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow  - 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = 3\). Suy ra \(f\left( x \right) = 2\sqrt x  - 2\sqrt {x + 1}  + 3\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {2\sqrt x  - 2\sqrt {x - 1}  + 3} \right)dx}  = \dfrac{{17}}{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt 2 \) (sử dụng MTCT).

Chọn B.