Phương pháp giải:

- Sử dụng: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}}  =  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\), chuyển vế, tính nguyên hàm để tìm \(f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^2} + 3 \Rightarrow dt = 2xdx\) \( \Rightarrow \int {\dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}dx}  = \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}}  =  - \dfrac{1}{t} = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2} + 3}}\)

Do đó, ta có :

      \(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + 3} \right)^2}.f'\left( x \right) = 2x.{f^2}\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}}  = \int {\dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}} \end{array}\)

      \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2} + 3}} + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 3 + C\\f\left( 1 \right) = 4 \Leftrightarrow 4 = {1^2} + 3 + C \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 3\end{array}\) 

Vậy \(f\left( 3 \right) = {3^2} + 3 = 12.\) 

Chọn D.