Phương pháp giải:

+) $AN \bot AM$ (t.c phân giác của hai góc kề bù) $\Rightarrow$ đường tròn $\left( C \right)$ sẽ có tâm $I\left( { - 1;\,\, - 1} \right)$  là trung điểm $MN$, bán kính $R = \frac{{MN}}{2} = \sqrt 5$ $\Rightarrow \left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5$

+) Để  tìm tọa độ $B,\,\,C$  ta cần thiết lập phương trình đường thẳng $BC$ rồi cho giao với đường tròn $\left( C \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có $AM,\,\,AN$ là hai đường phân giác trong và ngoài của $\angle A \Rightarrow AM \bot AN$ (tính chất các đường phân giác của một góc).

$\Rightarrow \angle MAN = {90^0}$ $\Rightarrow MN$ là đường kính của đường tròn $\left( C \right)$ ngoại tiếp $\Delta ABC.$

$\Rightarrow MN \bot BC.$

Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 2;\,\,4} \right) =  - 2\left( {1; - 2} \right).$

Đường thẳng $BC$ qua $E$ và nhận $\overrightarrow {MN}$ làm VTPT có phương trình: $x - 2 - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 4 = 0.$

Gọi $I$ là trung điểm của $MN \Rightarrow I\left( { - 1; - 1} \right)$

Có: $MN = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5  \Rightarrow IM = \frac{1}{2}MN = \sqrt 5 .$

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 1;\,\, - 1} \right)$ và đường kính $MN$ là: $\left( C \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5.$

Khi đó tọa độ các điểm $B,\,\,C$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\\x - 2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 4\\{\left( {2y + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 4\\5{y^2} + 22y + 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y =  - \frac{7}{5}\\y =  - 3\end{array} \right.\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\y =  - \frac{7}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$

Vì $C$ có hoành độ dương $\Rightarrow C\left( {\frac{6}{5}; - \frac{7}{5}} \right);\,\,\,B\left( { - 2; - 3} \right).$

Chọn  D.