Phương pháp giải:

+) Biểu diễn tọa độ của điểm \(B,\,\,C\) theo \(a\) hoặc \(b\).

+) \(\left. \begin{array}{l}B \in d\\HC \bot d = \left\{ H \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BH \bot HC \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {HC}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

+) Vì \(B\left( {a;\,\,b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\) nên ta có: \(a + b + 2 = 0 \Rightarrow b =  - a - 2\)

\( \Rightarrow B\left( {a;\,\, - a - 2} \right)\)

+) Ta có: \(A\left( {2;\,\,4} \right),\,\,B\left( {a;\,\, - a - 2} \right),\,\,C\left( {{x_C};\,\,{y_C}} \right)\)

Vì \(G\left( {2;\,\,\frac{2}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên  \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{2 + a + {x_C}}}{3}\\\frac{2}{3} = \frac{{4 + \left( { - a - 2} \right) + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + a + {x_C} = 6\\2 - a + {y_C} = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + {x_C} = 4\\ - a + {y_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4 - a\\{y_C} = a\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow C\left( {4 - a;\,\,a} \right)\)

+) \(\overrightarrow {HB}  = \left( {a - 2;\,\, - a + 2} \right)\), \(\overrightarrow {HC}  = \left( {2 - a;\,\,a + 4} \right)\)

Vì \(B\left( {a;\,\, - a - 2} \right) \in d\) và \(H\left( {2;\,\, - 4} \right)\) là hình chiếu của \(C\left( {4 - a;\,\,a} \right)\) lên đường thẳng \(d\), khi đó ta có:

\(\overrightarrow {HB.} \overrightarrow {HC}  = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) 

\( \Rightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {2 - a} \right) + \left( { - a + 2} \right)\left( {a + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {2 - a} \right) + \left( {2 - a} \right)\left( {a + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 - a} \right)\left[ {\left( {a - 2} \right) + \left( {a + 4} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 - a} \right)\left( {2a + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - a = 0\\2a + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - 1\end{array} \right.\)

- Với \(a = 2 \Rightarrow B\left( {2;\,\, - 4} \right),\,\,C\left( {2;\,\,2} \right)\), \(A\left( {2;\,\,4} \right)\)\( \Rightarrow \) Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Rightarrow \) Loại

- Với \(a =  - 1 \Rightarrow \)\(B\left( { - 1;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {5;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow P = a - 3b = \left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right) = 2\)

Chọn  C.