Phương pháp giải:

- Phân tích \(\sin x + 3\cos x = M\left( {\sin x + \cos x} \right) + N\left( {\cos x - \sin x} \right)\), tìm \(M,\,\,N\).

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: \(\int {dx}  = x + C\), \(\int {\dfrac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}K = 3A + B\\K = 3\int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx}  + \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x + \sin x}}dx} \\K = \int {\dfrac{{\sin x + 3\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \end{array}\)

Giả sử

\(\begin{array}{l}\sin x + 3\cos x = M\left( {\sin x + \cos x} \right) + N\left( {\cos x - \sin x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {M - N} \right)\sin x + \left( {M + N} \right)\cos x\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M - N = 1\\M + N = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 2\\N = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin x + 3\cos x = 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {\cos x - \sin x} \right)\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}K = \int {\dfrac{{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}dx}  + \int {\dfrac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\K = \int {2dx}  + \int {\dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)'}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\K = 2x + \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\end{array}\) 

Chọn B.