Phương pháp giải:

a) QuY đồng, khử mẫu và rút gọn \(A\).

b) Giải phương trình \(A =  - \frac{2}{3}\), sử dụng kết quả rút gọn câu a).

c) Dựa vào điều kiện bài cho và \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra điều kiện chính xác của \(x\), từ đó đánh giá \(A\).

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh \(A = \frac{{ - 4}}{{\sqrt x  + 2}}.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x  - 2 - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}:\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\\\,\,\, = \frac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\\,\, = \frac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x }}\\\,\, = \frac{{ - 4}}{{\sqrt x  + 2}}.\end{array}\)

b) Tìm\(x\) biết \(A = \frac{{ - 2}}{3}.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

\(A = \frac{{ - 2}}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{ - 2}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 = 6 \Leftrightarrow \sqrt x  = 4\)

\( \Leftrightarrow x = 16\) (tmđk).

Vậy \(x = 16.\)

c) Cho \(x\) là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \(A.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Ta có \(x\) nguyên và \(x > 0,\,x \ne 4\) thì \(x \ge 1,\,x \ne 4,\,x \in \mathbb{Z}.\)

Ta có: \(x \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt x  \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 \ge 3 > 0\)

 \( \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 4}}{3}\) \( \Leftrightarrow P \ge \frac{{ - 4}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là  \(\frac{{ - 4}}{3}\) khi \(x = 1.\)

Chọn D.