Câu hỏi
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) là:
- A \(2\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{2}{{x + 1}} + C\)
- B \(2\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{3}{{x + 1}} + C\)
- C \(2\ln \left( {x + 1} \right) - \frac{2}{{x + 1}} + C\)
- D \(2\ln \left( {x + 1} \right) - \frac{3}{{x + 1}} + C\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ với mẫu số có nghiệm kép.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int {\frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{2}{{x + 1}}dx - } \int {\frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \\\,\,\,\, = 2\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{3}{{x + 1}} + C = 2\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{3}{{x + 1}} + C\,\,\,\,\,\left( {do\,\,x \in \left( { - 1; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 > 0} \right).\end{array}\)
Chọn B.