Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là:\(d\left( {A;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(d\left( {A;\,\,{d_1}} \right) = d\left( {A;\,\,{d_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 4.1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {m.\left( { - 2} \right) + 3.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {3^2}} }}\\ \Leftrightarrow \frac{8}{5} = \frac{{\left| {2m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 9} }} \Leftrightarrow 8\sqrt {{m^2} + 9}  = \left| {10m} \right|\\ \Leftrightarrow 64\left( {{m^2} + 9} \right) = 100{m^2}\\ \Leftrightarrow 64{m^2} - 100{m^2} + 576 = 0\\ \Leftrightarrow 36{m^2} = 576\\ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m =  - 4\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  C.