Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\end{array}\)

CMTT: \(AK \bot SC \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right)\).

Gọi \(AC \cap BD = O\). Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(E = HK \cap SO\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(F = AE \cap SC \Rightarrow \left( {AHK} \right) \equiv \left( {AHFK} \right)\).

Ta có  \(SF \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow FK\) là hình chiếu của \(SK\) lên \(\left( {AHK} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {AHK} \right)} \right) = \angle \left( {SK;FK} \right) = \angle SKF\).

Ta có \(SF \bot \left( {AHFK} \right) \Rightarrow SF \bot FK \Rightarrow \Delta SFK\) vuông tại \(F\)\( \Rightarrow \tan \angle KSF = \dfrac{{SF}}{{FK}}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

\(\begin{array}{l}SK = \dfrac{{S{A^2}}}{{SD}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\\SF = \dfrac{{S{A^2}}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

\( \Rightarrow FK = \sqrt {S{K^2} - S{F^2}}  = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}\).

Vậy \(\tan \angle \left( {SD;\left( {AHK} \right)} \right) = \dfrac{{\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}}}{{\dfrac{a}{{\sqrt 6 }}}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)

Chọn B.