Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\). Do chóp \(S.ABCD\) đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MH//SO\,\,\left( {H \in BD} \right) \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {BM;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {BM;BH} \right) = \angle MBH\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow OB = OD = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Dễ thấy \(MH\) là đường trung bình của \(\Delta SOD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(OD\) và \(MH = \dfrac{1}{2}SO\).

\( \Rightarrow BH = \dfrac{3}{4}BD = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\) và \(MH = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{1}{2}\sqrt {S{D^2} - O{D^2}}  = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Trong tam giác vuông \(BMH\) có: \(\tan \angle MBH = \dfrac{{MH}}{{BH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}}} = \dfrac{1}{3}\).

Vậy \(\tan \angle \left( {BM;\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}\).

Chọn B.