Phương pháp giải:

- Tính \(g'\left( x \right)\) và tìm nghiệm của \(g'\left( x \right) = 0\) trong đoạn \(\left[ { - 4;3} \right]\).

- Tính giá trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại các điểm \( - 4;3\) và các điểm làm cho \(g'\left( x \right) = 0\).

- So sánh các giá trị trên và kết luận GTNN.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {1 - x} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - 1 + x} \right]\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - x\).

Từ hình vẽ ta thấy, trên đoạn \(\left[ { - 4;3} \right]\) thì đường thẳng \(y = 1 - x\) cắt đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) tại \(3\) điểm lần lượt có hoành độ \( - 4; - 1;3\) nên ta so sánh các giá trị \(g\left( { - 4} \right),g\left( { - 1} \right),g\left( 3 \right)\).

Ta thấy: \({S_1} = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} {\left[ {1 - x - f'\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} {\left[ { - g'\left( x \right)} \right]dx}  = g\left( { - 4} \right) - g\left( { - 1} \right) > 0 \Rightarrow g\left( { - 4} \right) > g\left( { - 1} \right)\).

\({S_2} = \int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {f'\left( x \right) - 1 + x} \right]dx}  = \int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {g'\left( x \right)} \right]dx}  = g\left( 3 \right) - g\left( { - 1} \right) > 0 \Rightarrow g\left( 3 \right) > g\left( { - 1} \right)\).

Do đó \(g\left( { - 1} \right)\) là GTNN của hàm số \(y = g\left( x \right)\) hay hàm số đạt GTNN tại \({x_0} =  - 1\).

Chọn B