Bài 7 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11


Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \((u_n)\), biết:

LG a

\({u_n} = n + {1 \over n}\)

Phương pháp giải:

*) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.

Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.

Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.

*) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,{u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\\
= n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n}\\
= 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\\
= \frac{{{n^2} + n + n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)

Do \(n^2+n-1 \ge 1^2+1-1=1>0\) và n(n+1) > 0 với \(\forall n\in N^*\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.

Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}\) \(\Rightarrow u_n\) là dãy số bị chặn dưới.

Khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên.

Vậy \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Lg b

\({u_n} = {( - 1)^{n-1}}\sin {1 \over n}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(u_1= (-1)^{1-1}\sin 1 = \sin 1 > 0\)

\(\eqalign{& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^{2-1}}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr & {u_3} = {( - 1)^{3-1}}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \)

\( \Rightarrow u_1 > u_2\) và \(u_2< u_3\)

Vậy \(u_n\) là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}} \right| = \left| {\sin \frac{1}{n}} \right| \le 1 \)\(\Leftrightarrow  - 1 \le {u_n} \le 1\)

Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn.

Cách khác:

Với \(n \ge 1\) thì \(0 < \frac{1}{n} < 1 < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \frac{1}{n} > 0,\forall n\)

Suy ra: Với \(n\) chẵn \( \Rightarrow {\rm{ }}n-1\) lẻ

\( \Rightarrow {\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^{n-1}}\; =  - 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{u_n}\; < 0\)

Với \(n\) lẻ \( \Rightarrow {\rm{ }}n-1\) chẵn

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow {{\left( { - 1} \right)}^{n - - 1}}\; = 1 \Rightarrow {u_n}\; > 0.}\\
{ \Rightarrow {u_1}\; > {u_2}\; < {u_3}\; > {u_4}\; < {u_5}\; > {u_{6\;}} \ldots }
\end{array}\]

\( \Rightarrow {\rm{ }}({u_n})\) không tăng không giảm.

\( \Rightarrow \;{\left( { - 1} \right)^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\; = {\rm{ }} - 1\; \Rightarrow \;{u_n}\; < {\rm{ }}0\)

LG c

\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  \) \( = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \)\(= {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \) \(= {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

Xét hiệu:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr 
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \) 

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr 
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n > 0\)

\( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \)

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)

\(\Rightarrow {u_n}\)  là dãy số giảm.

Mặt khác: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N^*\) \(\Rightarrow {u_n}\) là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với \(n \ge 1\) thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)

\(\Rightarrow {u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên.

Vậy \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 15 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí