Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai - Từ .. 1. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức rút gọn
+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số
- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.
- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.
+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: \(a + b \ge 2ab\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
- \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a.b \ge 0\)
- \(\left| {a - b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a.b \le 0\)
2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AG - GM) (Bất đẳng thức Cauchy)
Cho hai số \(a,b \ge 0\). Trung bình cộng của hai số là \(\frac{{a + b}}{2}\); Trung bình nhân của hai số là \(\sqrt {ab} \).
Khi đó, ta luôn có:
\(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (1)
Bất đẳng thức (1) được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số không âm a và b (thường viết tắt là AM – GM). Ta cũng thường gọi bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Cauchy.
