Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi AD là đường cao của tam giác. Biết rằng \(BD = 2cm,CD = 8cm.\) Hãy tính độ dài các cạnh AB, AC và chiều cao AD của tam giác ABC.
+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để tính AD: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
+ Sử dụng kiến thức định lí Pythagore để tính độ dài AB, AC: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên \(AD \bot BC\). Do đó, \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0}\)
Tam giác ABD và tam giác CAD có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0}\left( {cmt} \right),\widehat {BAD} = \widehat C\) (cùng phụ với góc DAC). Do đó, $\Delta ABD\backsim \Delta CAD\left( g-g \right)$
Suy ra: \(\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(A{D^2} = CD.BD = 2.8 = 16\)
Do đó, \(AD = 4cm\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D có:
\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = 16 + {2^2} = 20\) nên \(AB = 2\sqrt 5 cm\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACD vuông tại D có:
\(A{C^2} = A{D^2} + C{D^2} = 16 + {8^2} = 80\) nên \(AC = 4\sqrt 5 cm\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC có \(AB = 9cm,AC = 12cm,BC = 15cm.\)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho \(AD = 5cm.\) Tính độ dài CD.
Một viên bi lăn theo đoạn đường từ A đến D như hình vẽ \((AB \bot BC,BC \bot CD)\). Hãy tính khoảng cách AD. Biết rằng AB = 10m, BC = 12m, CD = 6m.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\), kẻ \(AH \bot BD\) tại \(H\).
a) Chứng minh \(\Delta ADH\) đồng dạng với \(\Delta BDA\).
b) Chứng minh \(\Delta AHD\) đồng dạng với \(\Delta BHA\) và \(A{H^2} = DH.BH\)
c) Tính \(AD, AB\) biết \(DH = 9 cm, BH = 16 cm\).
d) Gọi \(K, M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AH, BH, CD\). Chứng minh rằng tứ giác \(MNDK\) là hình bình hành và \(\widehat {AMN} = {90^o}\).
Cho tam giác \(ABC\), đường cao \(AH\). Biết \(AC = 15\,cm\), \(AH = 12\,cm\), \(BH = 9\,cm\). Kết luận nào sau đây là đúng?
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 6\, cm\), \(AC = 8\, cm\). \(D\) là một điểm sao cho \(BD = 16\, cm\), \(CD = 24\, cm\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) có \(AB = 20\, cm\), \(BH = 12\, cm\). Trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(AC = \frac{5}{3}AH\). Chọn đáp án đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh \(AB\), \(BC\), \(CA\) lần lượt là \(4\,cm\), \(3\,cm\), \(5\,cm\). Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(BM = 2\,cm\), tại \(M\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(H\). Chọn khẳng định đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 6\, cm\), \(AC = 8\, cm\), \(BC = 10\, cm\) và đường cao \(AH\). Tính độ dài \(AH\).
