Cho Hình 32 có ^BAC=90∘ˆBAC=90∘, AH vuông góc với BC tại H, ^xAB=^BAHˆxAB=ˆBAH , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a) AC là tia phân giác của góc Hay;
b) BD + CE = BC;
c) DH vuông góc với HE.
- Chứng minh ^CAH=^CAyˆCAH=ˆCAy suy ra AC là tía phân giác của ^HAyˆHAy.
- Chứng minh: ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra BD = BA
Tương tự chứng minh: CH = CE
Từ đó: BC = BH + CH
Mà BD = BH, CE = CH.
Do đó BC = BD + CE.
- Gọi I là giao điểm của AB và DH
Chứng minh ∆ADI = ∆AHI (c.g.c) suy ra ^ADI=^AHIˆADI=ˆAHI
Tương tự chứng minh: ^AHE=^AEHˆAHE=ˆAEH
Tính số đo góc HDE bằng 90o90o nên DH vuông góc với HE
a) •Ta có ^xAy=^xAB+^BAC+^CAyˆxAy=ˆxAB+ˆBAC+ˆCAy
Hay 180∘=^xAB+90∘+^CAy180∘=ˆxAB+90∘+ˆCAy
Suy ra ^CAy=90∘−^xABˆCAy=90∘−ˆxAB
•Ta có ^BAH+^CAH=^BAC=90∘ˆBAH+ˆCAH=ˆBAC=90∘
Nên ^CAH=90∘−^BAHˆCAH=90∘−ˆBAH
Mà ^xAB=^BAHˆxAB=ˆBAH (giả thiết)
Suy ra ^CAH=^CAyˆCAH=ˆCAy
Do đó AC là tia phân giác của ^HAyˆHAy
Vậy AC là tia phân giác của ^HAyˆHAy .
b) • Xét ∆ABD và ∆ABH có:
^ADB=^AHB(=90∘)ˆADB=ˆAHB(=90∘)
AB là cạnh chung,
^DAB=^HABˆDAB=ˆHAB (giả thiết),
Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng).
• Xét ∆ACE và ∆ACH có:
^AEC=^AHC(=90∘)ˆAEC=ˆAHC(=90∘)
AC là cạnh chung,
^CAH=^CAEˆCAH=ˆCAE (chứng minh câu a),
Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng).
•Ta có BC = BH + CH
Mà BD = BH, CE = CH.
Do đó BC = BD + CE.
Vậy BC = BD + CE.
c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC.
• Xét ∆ADI và ∆AHI có:
AD = AH (chứng minh câu b),
^DAI=^HAIˆDAI=ˆHAI (do ^xAB=^BAHˆxAB=ˆBAH),
AI là cạnh chung.
Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c).
Suy ra ^ADI=^AHIˆADI=ˆAHI (hai góc tương ứng).
Hay ^ADH=^AHDˆADH=ˆAHD.
• Xét ∆AHK và ∆AEK có:
AH = AE (chứng minh câu b),
^HAK=^EAKˆHAK=ˆEAK (do ^HAC=^EACˆHAC=ˆEAC),
AK là cạnh chung
Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c)
Suy ra ^AHK=^AEKˆAHK=ˆAEK (hai góc tương ứng).
Hay ^AHE=^AEHˆAHE=ˆAEH.
Xét ∆ADH có: ^ADH+^AHD+^HAD=180∘ (tổng ba góc của một tam giác).
Mà ^ADH=^AHD nên ^AHD=180∘−^HAD2
Xét ∆AEH có: ^AEH+^AHE+^HAE=180∘ (tổng ba góc của một tam giác)
Mà ^AHE=^AEH nên ^AHE=180∘−^HAE2
Ta có
^DHE=^AHD+^AHE=180∘−^HAD2+180∘−^HAE2=360o−(^HAD+^HAE)2=360o−180o2=90o
Suy ra DH vuông góc với HE.
Vậy DH vuông góc với HE.
Các bài tập cùng chuyên đề
Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax; By vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc D. Khi đó:
Trong mỗi hình sau (H.4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng
a) Nếu AB = DE, BC = EF và AH = DK thì ΔABC=ΔDEF;
b) Nếu AB = DE, AC = DF và AH = DK thì ΔABC=ΔDEF
Cho các điểm A, B, C, D, E, F như Hình 4.58.
a) Tìm ba cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
b) Chứng minh ΔADE=ΔADF.
Cho đường thẳng d đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và không vuông góc với AB. Kẻ AP, BQ (P∈d,Q∈d)vuông góc với đường thẳng d (H 4.60). Chứng minh rằng:
a) AP = BQ
b)ΔAPB=ΔBQA.
Hai tam giác vuông bằng nhau khi và chỉ khi điều nào dưới đây xảy ra?
A. Một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác kia.
B. Một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác kia.
C. Hai góc nhọn của tam giác này bằng hai góc nhọn của tam giác kia.
D. Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.
Trong mỗi hình sau có cặp hai tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Tìm các tam giác vuông bằng nhau trong mỗi hình bên (Hình 19).
Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 22 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.
Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông. Chứng minh:
a) IA = IB;
b) IH là tia phân giác của góc AIB.
ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).
EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN
Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Chứng minh ΔABM=ΔACM.
b) Chứng minh AM⊥BC.
c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho MA=ME. Kẻ BH⊥AC tại H, CK⊥BE tại K. Chứng minh AC//BE và M là trung điểm của đoạn thẳng HK.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M, BN vuông góc với AC tại N. Chứng minh AM = AN.
Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.
a) Chứng minh AC = EB và AC song song với EB.
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.
c) Từ E kẻ EH vuông góc với BC tại H. Cho biết ^HBE=50∘;^MEB=25∘. Tính số đo các góc HEB và HEM.
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH⊥BC.
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM=CN. Chứng minh rằng ΔABM=ΔACN.
c) Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho BI⊥AM;CK⊥AN. Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK//MN.
a) Chứng minh ΔAHB=ΔAHD.
b) Chứng minh ΔABD là tam giác đều.
c) Từ C kẻ CE vuông góc với đường thẳng AD(E∈AD). Chứng minh DE=HB.
d) Từ D kẻ DF vuông góc với AC (Fthuộc AC), I là giao điểm của CE và AH. Chứng minh ba điểm I,D,F thẳng hàng.
a) Chứng minh ΔAMB=ΔDMC.
b) Trên tia đối của tia CD, lấy điểm I sao cho CI=CA, qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh ΔACE=ΔICE, từ đó suy ra ΔACE là tam giác vuông cân.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của ^BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng ΔBKM=ΔCKN từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
a) Chứng minh ΔAHB=ΔAHD.
b) Chứng minh ΔABD là tam giác đều.
c) Từ C kẻ CE vuông góc với đường thẳng AD(E∈AD). Chứng minh DE=HB.
d) Từ D kẻ DF vuông góc với AC (Fthuộc AC), I là giao điểm của CE và AH. Chứng minh ba điểm I,D,F thẳng hàng.
a) Chứng minh ΔAMB=ΔDMC.
b) Trên tia đối của tia CD, lấy điểm I sao cho CI=CA, qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh ΔACE=ΔICE, từ đó suy ra ΔACE là tam giác vuông cân.
