Cho hàm số bậc ba \(f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left[ {f\left( x \right)} \right] = m\) có đúng \(4\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\)?

Đặt \(t = f\left( x \right)\). Với \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;3} \right].\)

Với mỗi \(t \in \left\{ { - 1} \right\} \cup \left( {2;3} \right)\) thì tồn tại \(1\) giá trị \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\).

Với mỗi \(t \in \left( { - 1;2} \right]\) thì tồn tại \(2\) giá trị \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\).

Khi đó ta có phương trình \(f\left( t \right) = m\).

Để phương trình ban đầu có \(4\) nghiệm \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) có \(2\) nghiệm thuộc \(\left( { - 1;2} \right]\)

\( \Rightarrow  - 1 < m \le 2.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên có \(3\) giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.