Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh ΔABCΔABC vuông tại C và CH2=AC.BC.sinA.cosACH2=AC.BC.sinA.cosA.
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC ở D. Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt IC ở K. Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.
a) Chứng minh tam giác ACH và tam giác CHB vuông nên viết các hệ thức lượng liên quan đến cạnh CH.
Chứng minh ^CAB=^HCBˆCAB=ˆHCB nên cos^CAB=cos^HCBcosˆCAB=cosˆHCB suy ra điều phải chứng minh.
b) Chứng minh ΔIAO=ΔICO(c.c.c)ΔIAO=ΔICO(c.c.c) suy ra ^IOA=^ICO=90∘ˆIOA=ˆICO=90∘ hay IC⊥OCIC⊥OC tại C.
c) Chứng minh ΔAIO=ΔCIOΔAIO=ΔCIO và ΔKCO=ΔKBOΔKCO=ΔKBO.
Biểu diễn SAIKBSAIKB theo SΔIOKSΔIOK.
Suy ra diện tích nhỏ nhất của SAIKBSAIKB theo R.
a) Vì AB là đường kính của (O) và C∈(O)C∈(O) suy ra ΔABCΔABC vuông tại C.
Vì CH vuông góc với AB tại H nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
CH=AC.sinACH=AC.sinA (tam giác ACH vuông tại H)
và CH=BC.cos^HCBCH=BC.cosˆHCB (tam giác CHB vuông tại H).
Mà ^CAB=^HCBˆCAB=ˆHCB (cùng phụ với ^ACHˆACH) nên cos^CAB=cos^HCBcosˆCAB=cosˆHCB hay cosA=cos^HCBcosA=cosˆHCB. Do đó CH=BC.cosACH=BC.cosA.
Do đó CH2=(AC.sinA)(BC.cosA)=AC.BC.sinA.cosACH2=(AC.sinA)(BC.cosA)=AC.BC.sinA.cosA.
b) Ta có CI=IA=IDCI=IA=ID (đường trung truyến trong tam giác vuông)
Xét tam giác IAO và tam giác ICO có:
AO = OC = R
IA = IC (cmt)
OI chung
Suy ra ΔIAO=ΔICO(c.c.c)ΔIAO=ΔICO(c.c.c), do đó ^IOA=^ICO=90∘ˆIOA=ˆICO=90∘ hay IC⊥OCIC⊥OC tại C.
Vậy IC là tiếp tuyến của (O) tại điểm C.
c) Theo ý b, ta có ΔAIO=ΔCIOΔAIO=ΔCIO (c.c.c).
Chứng minh tương tự, ta có ΔKCO=ΔKBOΔKCO=ΔKBO (c.c.c).
Mà SAIKB=SΔAIO+SΔCIO+SΔCOK+SΔKOB=2(SΔCIO+SΔCOK)SAIKB=SΔAIO+SΔCIO+SΔCOK+SΔKOB=2(SΔCIO+SΔCOK)
Suy ra SAIKB=2.SΔIOK=OC.IK=R.IK≥R.AB=R.2R=2R2
Dấu “=” xảy ra khi IK = AB. Khi đó C là điểm chính giữa ⌢AB.
Vậy SAIKB có giá trị lớn nhất là 2R2 khi C là điểm chính giữa ⌢AB.
Các bài tập cùng chuyên đề
Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.
a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.
c) Biết rằng AB=12cm và ^COD=100o. Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.
d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Cho tam giác vuông ABC (ˆA=90o) có ˆC=30o và AB=3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.
b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.
c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Cho đường tròn (O;R) , (O;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Tứ giác BDCE là hình gì?
b) Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D∈(O) và E∈(O′). Gọi M là giao điểm của BD và CE.
a) Tính số đo của ^DAE.
b) Tứ giác ADME là hình gì?
c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O′) có đường kính CB.
a) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
b) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O′). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng;
c) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O′).
Cho tam giác MNP có MN = 5cm, NP = 12cm, MP = 13cm. Vẽ đường tròn (M;MN), gọi Q là giao điểm của đường tròn với MP.
Cho tam giác MNP có MN = 5cm, NP = 12cm, MP = 13cm. Vẽ đường tròn (M;MN), đường thẳng MP cắt đường tròn tại hai điểm O và Q (Q nằm giữa O và P).
