Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt đáy. Đường thẳng $C{\rm{D}}$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. $\left( {SAD} \right)$.

B. $\left( {SAC} \right)$.

C. $\left( {SAB} \right)$.

D. $\left( {SBD} \right)$.

Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO $\bot$ (ABCD).

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại hay không?

Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ cắt nhau theo một đường thẳng $\Delta$ đi qua O.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa $\Delta$ và (P).

Cho điểm O và đường thẳng $\Delta$ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với $\Delta$. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với $\Delta$.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA $\bot$ (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) BC $\bot$ (SAM).

b) Tam giác SBC cân tại S.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA $\bot$ (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA $\bot$ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM $\bot$ (SBC), AN $\bot$ (SCD), SC $\bot$ (AMN).

Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $SA \bot (ABCD)$.

Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

B. Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$.

C. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$.

D. Đường thẳng AD vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

Làm thể nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Gọi $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB,SC,SD$. Chứng minh rằng:

a) $CB \bot \left( {SAB} \right)$ và $CD \bot \left( {SAD} \right)$;

b) $HK \bot AI$.

a) Trong không gian, cho điểm $O$ và đường thẳng $d$. Gọi $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt đi qua $O$ và vuông góc với $d$ (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng $d$ và $mp\left( {a,b} \right)$?

b) Trong không gian, cho điểm $O$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi $\left( Q \right)$ và $\left( R \right)$ là hai mặt phẳng đi qua $O$ và lần lượt vuông góc với hai đường cắt nhau $a,b$ nằm trong $\left( P \right)$ (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và giao tuyến $d$ của $\left( Q \right),\left( R \right)$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông với $AB$ là cạnh góc vuông và có cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Cho $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB,AB,CD,SC$. Chứng minh rằng:

a) $AB \bot \left( {MNPQ} \right)$;

b) $MQ \bot \left( {SAB} \right)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Cho biết $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và ${\rm{D}}$, $AB = 2AD$.

a) Chứng minh $CD \bot \left( {SAD} \right)$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh $CM \bot \left( {SAB} \right)$.

Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$. Trên đường thẳng vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$ tại $H$, lấy điểm $S$. Chứng minh rằng:

a) $AC \bot \left( {SHK} \right)$;

b) $CK \bot \left( {SDH} \right)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = 90^\circ ,\widehat {BSC} = {60^ \circ }$ và $\widehat {ASC} = {120^ \circ }$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AC$. Chứng minh $SI \bot \left( {ABC} \right)$.

Tứ diện $ABCD$ có $AB \bot \left( {BCD} \right)$. Trong tam giác $BCD$ vẽ đường cao $BE$ và $DF$ cắt nhau tại $O$. Trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ vẽ ${\rm{D}}K$ vuông góc với $AC$ tại $K$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ACD$. Chứng minh rằng:

a) $\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)$ và $\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)$;

b) $OH \bot \left( {ADC} \right)$.

Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $a$, vuông góc với $\left( Q \right)$ và cắt $b$ tại điểm $J$. Trong $\left( P \right)$, gọi $c$ là đường thẳng đi qua $J$, vuông góc với $a$ và cắt $a$ tại điểm $I$.

Đường thẳng $IJ$ có vuông góc với $b$ không? Giải thích.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Chứng minh rằng $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.

Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua O. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b (Hình 18).

a) Giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)?

Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Kẻ AM vuông góc với SB tại M và AN vuông góc với SC tại N. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) $AM \bot \left( {SBC} \right)$.

c) $SC \bot \left( {AMN} \right)$.

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a)$BC \bot \left( {OAH} \right)$.

b) H là trực tâm của tam giác ABC.

c) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:

a) $B'B \bot \left( {A'B'C'} \right)$.

b) $B'C \bot \left( {ABB'A'} \right)$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) $AC \bot \left( {SBD} \right)$ và $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {SAH} \right)$ và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy.

b) $SB \bot \left( {CHK} \right)$ và $HK \bot \left( {SBC} \right)$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh $a\sqrt 2$. Biết rằng $SA = SB = SC = SD,SO = 2a\sqrt 2$.

a) Chứng minh rằng $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.