Tìm $\lim \frac{{{6^n} + {4^n}}}{{\left( {{2^n} + 1} \right)\left( {{3^n} + 1} \right)}}$.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử ${u_n}$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là 0.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}$. Chứng minh rằng $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 3$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}$. Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ xác định bởi ${v_n} = {u_n} - 1$. Tính $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty }{v_n}\;$.

Chứng minh rằng: $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}$

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - x,x < 0\\\sqrt x ,x \ge 0\end{array} \right.$

Tính $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right),\;\;\;\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} \;f\left( x \right)$ và $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;f\left( x \right)$.

Chứng minh rằng $\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.$

Chứng minh rằng $\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} =  - 4.$

Chứng minh rằng:

a) $\lim 0 = 0;$                           

b) $\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.$

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số $\left( {{u_n}} \right),$ với ${u_n} = \frac{1}{n}$ trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị ${u_n}$ khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng ${u_n}$ nào của dãy số thì khoảng cách từ ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {x^2};$                      

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}.$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \left( {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right)$;         

b) $\lim \left( {\frac{{1 - 4n}}{n}} \right)$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{n}$.

a) Cho dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = {u_n} - 2$. Tìm giới hạn $\lim {v_n}$.

b) Biểu diễn các điểm ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4}$ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm ${u_n}$ khi $n$ trở nên rất lớn?

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{1}{{{n^2}}}$;                                           

b) $\lim {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^n}$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với .${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}$.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với $n$ thế nào thì $\left| {{u_n}} \right|$ bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm ${u_n}$ đến điểm 0 khi $n$ trở nên rất lớn?

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{ - 2n + 1}}{n}$                                        

b) $\lim \frac{{\sqrt {16{n^2} - 2} }}{n}$          

c) $\lim \frac{4}{{2n + 1}}$          

d) $\lim \frac{{{n^2} - 2n + 3}}{{2{n^2}}}$

$\lim \frac{{n + 3}}{{{n^2}}}$ bằng: 

A. 1.                                            

B. 0.                                            

C. 3.                                            

D. 2.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{3n - 1}}{n}$                                                   

b) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2} }}{n}$      

c) $\lim \frac{2}{{3n + 1}}$                                                     

d) $\lim \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)}}{{{n^2}}}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \left( {2 + \frac{5}{n}} \right)$;

b) $\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)$;

c) $\lim \left( {3 - \frac{4}{n}} \right)\left( {2 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)$;

d) $\lim \frac{{3 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}}$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}$;

b) $\lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}$;

c) $\lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}$;

d) $\lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n}  + n}}$;

e) $\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)$;

g) $\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n}  - n}}$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}$;

b) $\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}$;

c) $\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}$;

d) $\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}$.

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ có $\lim {u_n} = 3,\lim {v_n} = 4$. Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \left( {3{u_n} - 4} \right)$;

b) $\lim \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right)$;

c) $\lim {\left( {{u_n} - {v_n}} \right)^2}$;

d) $\lim \frac{{ - 2{u_n}}}{{{v_n} - 2{u_n}}}$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $n{u_n} = 3$. Tìm giới hạn $\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}$.

Tùy theo giá trị của $a > 0$, tìm giới hạn $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}$.

$\lim \frac{{3{n^2} + 2n}}{{2 - {n^2}}}$ bằng

A. $\frac{3}{2}$.

B. $- 2$.

C. 3.

D. $- 3$.

$\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 4n + 1} }}{{4n + 1}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. 1.

C. 2.

D. $+ \infty$.

$\lim \frac{{2n + 1}}{{\sqrt {9{n^2} + 1}  - n}}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.

B. 1.

C. $\frac{1}{4}$.

D. 2.

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $$\left( {{v_n}} \right)$$ thỏa mãn $\lim {u_n} = 4,\lim \left( {{v_n} - 3} \right) = 0$. $\lim \left[ {{u_n}\left( {{u_n} - {v_n}} \right)} \right]$ bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

$\lim \frac{{{4^n}}}{{{{2.4}^n} + {3^n}}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{n\left( {2{n^2} + 3} \right)}}{{4{n^3} + 1}}$;

b) $\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 5}  - \sqrt {n + 1} } \right)} \right]$.