Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD đôi một vuông góc và BA = BC = BD = 1. Gọi I là trung điểm của AC.

Trong Ví dụ 3, tính ${\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}$.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)$.
a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b$.
b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow u$.
c) Tính $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và $C\left( { - 1;0;2} \right)$.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow a  = \left( {3;1;2} \right)$, $\overrightarrow b  = \left( { - 3;0;4} \right)$ và $\overrightarrow c  = \left( {6; - 1;0} \right)$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c$ và $2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  - 5\overrightarrow c$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow a .\left( { - \overrightarrow b } \right)$ và $\left( {2\overrightarrow a } \right).\overrightarrow c$.

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow a  = \left( {3;1;2} \right)$, $\overrightarrow b  = \left( { - 3;0;4} \right)$ và $\overrightarrow c  = \left( {6; - 1;0} \right)$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c$ và $2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  - 5\overrightarrow c$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow a .\left( { - \overrightarrow b } \right)$ và $\left( {2\overrightarrow a } \right).\overrightarrow c$.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $M\left( { - 4;3;3} \right),N\left( {4; - 4;2} \right)$ và $P\left( {3;6; - 1} \right)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP}$, từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {NP}$, từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left( {1;0;1} \right),B\left( {0; - 3;1} \right)$ và $C\left( {4; - 1;4} \right)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng $\widehat {BAC} = {90^0}$.

c) Tính $\widehat {ABC}$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-2;3;0), B(4;0;5), C(0;2;-3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tính chu vi tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính $\cos \widehat {BAC}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;-3), B(0;-4;5) và C(-1;2;0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thằng hàng

b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính chu vi của tam giác ABC

e) Tính $\cos \widehat {BAC}$

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Cos của góc hợp bởi MN và AC’ bằng $\frac{{\sqrt a }}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$. Tính $a + b$.

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), và D(1;-1;1). Tọa độ điểm C là (a;b;c). Tính tổng a + b + c.

Trong không gian Oxyz, cho vecto $\overrightarrow a  = (2; - 2; - 4)$, $\overrightarrow b  = (1; - 1;1)$.

Trong không gian Oxyz, cho vecto $\overrightarrow a  = (2;1; - 2)$, $\overrightarrow b  = (0; - 1;1)$.

Trong không gian Oxyz, cho vecto $\overrightarrow c  = (3;4;0)$, $\overrightarrow b  = (1; - 2;2)$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(2;4;0), B(4;0;0), C(-1;4;-7) và D’(6;8;10). Tổng hoành độ, tung độ, cao độ của điểm B’ bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, cho vecto $\overrightarrow a  = (2;3;1)$, $\overrightarrow b  = ( - 1;5;2)$, $\overrightarrow c  = (4; - 1;3)$ và $\overrightarrow x  = ( - 3;22;5)$.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tính tổng của hoành độ, tung độ, cao độ đỉnh A’.

Trong không gian Oxyz, biết $\overrightarrow c  = (x;y;z)$ vuông góc vối cả hai vecto $\overrightarrow a  = (1;3;4)$, $\overrightarrow b  = ( - 1;2;3)$.

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A\left( {5;7; - 4} \right),B\left( {6;8; - 3} \right),C\left( {6;7; - 3} \right),D'\left( {3;0;3} \right)$. Tìm toạ độ các đỉnh $D$ và $A'$.

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A\left( {2;0;2} \right),B\left( {4;2;4} \right),D\left( {2; - 2;2} \right),C'\left( {8;10; - 10} \right)$. Tìm toạ độ điểm $A'$.

Cho hình bình hành $OABD$ có $\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {OB}  = \left( {1;1;0} \right)$ với $O$ là gốc toạ độ. Tìm toạ độ của điểm $D$.

Cho tứ diện $OABC$ có $G\left( {3; - 3;6} \right)$ là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm $A$ thoả mãn $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;3} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;4; - 2} \right)$.

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A\left( {2;4;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( { - 1;4; - 7} \right)$ và $D'\left( {6;8;10} \right)$. Tìm toạ độ của điểm $B'$.

Cho điểm $A\left( {2;2;1} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng $OA$.

Cho điểm $A\left( {1;2;3} \right)$. Tính khoảng cách từ $A$ đến trục $Oy$.

Cho điểm $M\left( {3; - 1;2} \right)$. Tìm:

a) Toạ độ điểm $M'$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua gốc toạ độ $O$.

b) Toạ độ điểm $O'$ là điểm đối xứng của điểm $O$ qua điểm $M$.

c) Khoảng cách từ $M$ đến gốc toạ độ.

d) Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$.

Cho điểm $M\left( {a;b;c} \right)$. Gọi $A,B,C$ theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm $M$ qua các mặt phẳng $\left( {Oxy} \right),\left( {Oyz} \right),\left( {Oxz} \right)$. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác $ABC$.

Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ được minh hoạ như Hình 3. Cho biết $OABC.DEFH$ là hình hộp chữ nhật và $EMF.DNH$ là hình lăng trụ đứng.

a) Tìm toạ độ của các điểm $B,F,H$.

b) Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MF}$.

c) Tính số đo $\widehat {EMF}$.

Cho hai điểm $A\left( {2;0;1} \right)$ và $B\left( {0;5; - 1} \right)$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$ bằng

A. ‒2.

B. ‒1.

C. 1.

D. 2.

Cho ba vectơ $\overrightarrow a  = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow b  = \left( {1;1;0} \right)$ và $\overrightarrow c  = \left( {1;1;1} \right)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2$.

B. $\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3$.

C. $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b$.

D. $\overrightarrow c  \bot \overrightarrow b$.