Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x;y) và N(x’; y’)

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON}$.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow {MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON}$ và tọa độ của $\overrightarrow {MN}$.

c) Tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow {MN}$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M({x_o};{y_o})$. Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35)

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow {OP}$ theo $\overrightarrow i$ và tính độ dài của $\overrightarrow {OP}$ theo ${x_o}$.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow {OQ}$ theo $\overrightarrow j$ và tính độ dài của $\overrightarrow {OQ}$ theo ${y_o}$.

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $\overrightarrow {OM}$ theo ${x_o},{y_o}.$

d) Biểu thị $\overrightarrow {OM}$ theo các vectơ $\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow u  = (2; - 3),\;\overrightarrow v  = (4;1),\;\overrightarrow a  = (8; - 12)$

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a$ theo các vectơ $\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j$

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u$

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow a  = 3.\overrightarrow i  - 2.\overrightarrow j ,$$\overrightarrow b  = \left( {4; - 1} \right)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $2\;\overrightarrow a  - \overrightarrow b$.

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow v  = \left( {3;4} \right)$. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $M(4;0),\,\,N(5;2)$ và $P(2;3).$ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC,$ biết $M,\,\,N,\,\,P$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $BC,\,\,CA,\,\,AB.$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(2; - 1),\,\,B(1;4)$ và $C(7;0).$

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $AB,\,\,BC$ và $CA.$ Từ đó suy ra tam giác $ABC$ là một tam giác vuông cân.

b) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $ABDC$ là một hình vuông.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $M( - 2;1)$ và $N(4;5).$

a) Tìm tọa độ của điểm $P$ thuộc $Ox$ sao cho $PM = PN.$

b) Tìm tọa độ của điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow {MQ}  = 2\overrightarrow {PN} .$

c) Tìm tọa độ của điểm $R$ thỏa mãn $\overrightarrow {RM}  + 2\overrightarrow {RN}  = \overrightarrow 0 .$ Từ đó suy ra $P,\,\,Q,\,\,R$ thẳng hàng.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $M( - 3;2)$ và $N(2;7).$

a) Tìm tọa độ của điểm $P$ thuộc trục tung sao cho $M,\,\,N,\,\,P$ thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của điểm $Q$ đối xứng với $N$ qua $Oy.$

c) Tìm tọa độ của điểm $R$ đối xứng với $M$ qua trục hoành.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $C(1;6)$ và $D(11;2).$

a) Tìm tọa độ của điểm $E$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}$ có độ dài ngắn nhất.

b) Tìm tọa độ của điểm $F$ thuộc trục hoành sao cho $\left| {2\overrightarrow {FC}  + 3\overrightarrow {FD} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right| = CD.$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(1;2),\,\,B(3;4)$ và $C(2; - 1).$

a) Chứng minh rằng $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác đó.

b) Tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

Để kéo đường dây điện bằng qua một hồ hình chữ nhật $ABCD$ với độ dài $AB = 200\,\,m,\,\,AD = 180\,\,m,$ người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm bên trên bờ $AB$ và cách đỉnh $A$ khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ $CD$ và cách đỉnh $C$ khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ $AB,\,\,AD.$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;4)$ và $C(9;2)$ là hai đỉnh của hình vuông $ABCD.$ Tìm tọa độ các đỉnh $B,\,\,D$ biết rằng tung độ của $B$ là một số âm.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;1)$ và $B(7;5).$

a) Tìm tọa độ của điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho $C$ cách đều $A$ và $B.$

b) Tìm tọa độ của điểm $D$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}$ có độ dài ngắn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A( - 3;2),\,\,B(1;5)$ và $C(3; - 1).$

a) Chứng minh rằng $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác ấy.

b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Tìm tọa độ của $I.$

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $BC.$ Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {GM}$

B. $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG}$

C. $\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {MG}$

D. $3\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {AM}$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A( - 3;1),\,\,B(2; - 1),\,\,C(4;6).$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là:

A. $(1;2)$

B. $(2;1)$

C. $(1; - 2)$

D. $( - 2;1)$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A( - 3;3),\,\,B(5; - 2),$ và $G(2;2).$ Tọa độ của điểm $C$ sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ là:

A. $(5;4)$

B. $(4;5)$

C. $(4;3)$

D. $(3;5)$

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\overrightarrow v  = \left( {10; - 8} \right)$ (hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là $\overrightarrow w  = \left( {3,5;0} \right)$. Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc $\overrightarrow v$ và $\overrightarrow w$

Cho hai vectơ $\overrightarrow m  = \left( { - 6;1} \right),\overrightarrow n  = \left( {0;2} \right)$.

a) Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow m  + \overrightarrow n ,\overrightarrow m  - \overrightarrow n ,10\overrightarrow m , - 4\overrightarrow n$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow m .\overrightarrow n ,\left( {10\overrightarrow m } \right).\left( { - 4\overrightarrow n } \right)$.

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1},{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1},{b_2}} \right)$ và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ theo hai vectơ , $\overrightarrow j$ như sau:

a) Biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow a  - \overrightarrow b ,k\overrightarrow a$ theo hai vectơ , $\overrightarrow j$.

b) Tìm $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ theo tọa độ của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ $B\left( {50;30} \right)$ và $C\left( {32; - 23} \right)$. Một con tàu đang neo đậu tại điểm $A\left( { - 10;20} \right)$.

a) Tính số đo của $\widehat {BAC}$.

b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh $D(2;2),E(6;2)$ và $F(2;6)$.

a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường vuông cao của tam giác DEF kẻ từ D.

b) Giải tam giác DEF.

Cho hai vectơ $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2}),\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})$ và hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a) $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = ...?$

b) $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = ...?$

c) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}}  = \sqrt {.?.}$

d) $\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}}  = \sqrt {.?.}$

e) $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{.?.}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}$ ($\overrightarrow a ,\overrightarrow b$  khác $\overrightarrow 0$)

Cho ba điểm $A(2;2),B(3;5),C(5;5)$

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành.

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

c) Giải tam giác ABC.

Cho hai điểm $A\left( {1;3} \right),B\left( {4;2} \right)$.

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.

c) Chứng minh rằng OA vuông góc  AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Cho bốn điểm $A\left( {7; - 3} \right),B\left( {8;4} \right),C\left( {1;5} \right),D\left( {0; - 2} \right)$. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm $A(2;1),B(1;4),C(4;5),D(5;2)$.

a) Chứng minh ABCD là một hình vuông.

b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.