Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|\).
Nếu \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\x - \sqrt {{x^2} - 1} > 0\end{array} \right.\left( * \right)\)
\({\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\frac{1}{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\)
\( \Leftrightarrow - {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}6.{\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left[ {{{\log }_3}6.{{\log }_2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 1} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\;\left( 1 \right)\\{\log _3}6.{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 1 = 0\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\left( {tm\left( * \right)} \right)\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\log _3}6.{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = - 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}3\)
\( \Leftrightarrow x + \sqrt {{x^2} - 1} = {2^{{{\log }_6}3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le {2^{{{\log }_6}3}}\\{x^2} - 1 = {\left( {{2^{{{\log }_6}3}} - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ - {{\log }_6}3}}} \right)\) (thỏa mãn điều kiện)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số: \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \).
a) Với \(m = 0\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:
a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\).
b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).
Cho biểu thức \(P = \sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho a là số dương, rút gọn biểu thức \(\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}\) được kết quả là:
Giả sử một lọ nuôi cấy 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó, số vi khuẩn N sau t giờ là \(N = {100.2^{\frac{t}{2}}}\) (con). Sau 4 giờ 30 phút thì có bao nhiêu con vi khuẩn? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để… được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({\log _a}b\).
Biểu thức phù hợp để điền vào “…” được câu đúng là:
Chọn đáp án đúng:
Với n số thực dương \({b_1},{b_2},..,{b_n},a > 0,a \ne 1\) thì:
Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) với giá trị nào của a dưới đây?
Cho đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình dưới đây:
Tìm a.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để hàm số \(y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Cho bất phương trình \({6^x} > b\). Với giá trị nào của b thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)?
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{{\sqrt {15} }}} \right)^x} > \frac{1}{{\sqrt {15} }}\) là
Phương trình \({\log _{\sqrt[4]{2}}}{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = 8\) có bao nhiêu nghiệm?
“Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt … hoặc … với a và b”. Từ (cụm từ) thích hợp để điền vào dấu … để được câu đúng là:
Cho hình chóp S. ABCD có AD//BC. Gọi N là một điểm thuộc cạnh SD (N khác S và D), qua N vẽ đường thẳng song song với AS cắt AD tại M. Chọn đáp án đúng:
Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD = 2a\). Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD, AC. Biết rằng \(MN = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(SA = SC\). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tam giác SAC là tam giác gì?
Cho hình chóp S. ABCD như hình vẽ dưới đây:
Biết rằng: \(SA \bot AB,SA \bot AD\).
Chọn khẳng định đúng.
Cho tứ diện OABC sao cho \(OA \bot \left( {OBC} \right)\). Gọi D là trung điểm của BC. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A, D). Qua M kẻ đường thẳng song song với AO cắt OD tại N. Chọn đáp án đúng.
