Cho hàm số: $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$.

a) Với $m = \frac{1}{3}$, hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định là $\mathbb{R}$.

a) Với $m = \frac{1}{3}$ ta có: $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)} }}$.

Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)} }}$ xác định khi ${\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.$

Vậy với $m = \frac{1}{3}$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

b) Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3m > 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3m - 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}$

Vậy với $m > \frac{2}{3}$ thì hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.